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Beitrag |
    
Gerald Hackl (Gerald)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 12:21: | 
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Es sind eine Parabel und ein Punkt gegeben. Man soll die Gleichung jener Tangenten t1 und t2, die aus P an die Parabel gelegt werden können und man soll die Koordinaten der Berührpunkte dieser Tangenten berechnen.Die größe des Winkels den die Tangenten t1 t2 einschließen und den Flächeninhalt des Dreiecks PT1,T2
par: y^2=5x P(-3/1)
p=4/5 oder ? wie geht das Beispiel? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 10:57: |
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Hi Gerald,
Aus der Scheitelgleichung y ^ 2 = 2 p x der Parabel
entnehmen wir durch einen Vergleich mit
der gegebenen Gleichung y ^ 2 = 5 x
den Parameter p = 2,5 ,den wir allerdings nicht
benötigen.
Wir polarisieren die Parabelgleichung;
das geht so:
y^2 wird durch y1 * y , x durch ½ *( x+x1)
ersetzt.
So entsteht aus der Parabelgleichung y ^ 2 = 5 x
die Geradengleichung
y1 *y = 5 * ½ * ( x + x1 ) = 5/2 * (x + x1 )......................(I)
Die entsprechende Gerade p1 ist die so genannte Polare
Zum Punkt P1( x1 / y1) als Pol.
Liegt der Punkt P1( x1 / y1) auf der Parabel selbst,
so stellt die Gerade p1 die Tangente der Parabel
mit P1(x1 / y1 ) als Berührungspunkt dar.
Liegt P1(x1/y1) ausserhalb der Parabel, so schneidet
p1 die Parabel gerade in den Berührungspunkten
T1,T2 der Tangenten t1 , t2 ,die von P1 aus an die Parabel
gelegt werden können.
Diese Tatsache nützen wir sofort aus und wählen
x1 = -3 , y1 = 1 ; das sind die Koordinaten des
gegebenen Punktes P1=P
Wir setzen diese Werte in (I) ein und erhalten als
Polarengleichung:
y = 5/2 * (x -3 ) = 5/2 * x – 15/2………………………….(II)
Diese Gerade wird mit der Parabel geschnitten.
Setze (II) in die Parabelgleichung ein
Es entsteht die quadratische Gleichung in x :
5 x ^2 – 34 x + 45 = 0 mit den Lösungen x = 5 und x = 1,8
Die zugehörigen y – Werte sind 5 und – 3 ; somit erhalten
wir die Berührungspunkte
T1(5/5) und T2(1,8 / - 3) der beiden Tangenten t1 , t2.
Setzt man die Koordinaten paarweise der Reihe nach
in die Gleichung (I) ein, so erhält man die Gleichungen von t1,t2,
nämlich (nach Vereinfachung):
t1 :y = ½ * x + 5 / 2 , Steigung m1 = 1/2
t2: y = -5/6 * x – 3 / 2 , Steigung m2 = - 5/6
Mit Hilfe der Steigungen berechnen wir den Winkel phi der
Tangenten
Es gilt : tan phi = abs [ (m2 – m1) / (1 + m1 * m2 ) ] = 16 / 7
Daraus phi ~ 66,37°
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Die Fläche A des Dreiecks P1T1T2 berechnet sich mittels
einer bekannten Determinantenformel:
A = ½ * [ (1,8 + 3 ) * ( 5 – 1 ) – ( -3 –1 ) * ( 5 + 3 ) ] = 25,6.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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