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ramon
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 12:13: | 
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Vor einer Kinokasse warten zwanzig Personen auf Einlass. Der Eintritt kostet einen Franken pro Person. Zwölf Personen haben nur ein 1.- Fr.-Stück bei sich, die übrigen acht Personen haben nur ein 2.-Fr.-Stück. Eine bestimmte Anordnung der Personen vor der Kasse heisst eine Warteschlange.
a)Wieviele Warteschlangen gibt es, bie denen der Kartenverkauf ohne Stockung wegen der
Unmöglichkeit des Geldherausgebens ablaufen kann, wenn die Kinokasse zu Beginn des
Kartenverkaufs leer ist ?
b)Lösen Sie die Aufgabe für den Fall, dass die Kinokasse zu Beginn des Kartenkaufs fünf 1.-Fr.
Stücke enthält. |
H.R. Moser, megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 19:43: |
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Hi ramon,
Deine Aufgabe bereitet mir etwelche Sorgen.
Sie stammt aus einem sehr anspruchsvollen Teilgebiet
der Kombinatorik
Eine ausführliche Herleitung sprengt den Rahmen von
Zahlreich und mein Zeitbudget.
Daher kann ich Dir nur das Resultat nennen und
eine Lösungsanleitung skizzieren
Bezeichnungen:
m:Anzahl der Inhaber eines 1-Fr.Stückes,
n: Anzahl der Inhaber eines 2-Fr-Stückes
b(m,n) = m! /[n!*(m-n)!] als Binomialkoeffizient m tief n
bezüglich der Aufgabe b):
p: Anzahl der 1-Fr-Stücke zu Beginn des Kartenverkaufes
Lösung von a)
Allgemein : z = [(m-n+1)/(m+1)] * b (m+n ,n)
Numerisches Beispiel: m = 12 , n = 8 ergibt
z = 5/13 * b(20,12) = 5 / 13 * 125970 = 48450
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Lösung von b)
Allgemein: z = b(m+n,m) - b(m+n,m+p+1)
Numerisches Beispiel mit p = 5 ; m , n wie unter a)
z = b(20,12) - b(20,18) = 125970 - 190 = 125780
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Anleitung
Man kann das Problem auf Irrfahrten im Strassennetz
zurückführen. Im Gitternetz eines rechtwinkligen
Koordinatensystems ermittelt man die Anzahl der Möglichkeiten,
vom Nullpunkt O(0/0) zum Gitterpunkt P(a/b) zu gelangen
Man zählt dabei die Minimalwege aus horizontalen (H)
und vertikalen (V) Schritten der Einheitslängen 1.
Diese Anzahl ist
b(a+b,a) = b(a+b,b)
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Nun ordnet man jedem Inhaber eines 1-Fr-Stückes das Zeichen H,
jedem Inhaber eines 2-Fr.-Stückes das Zeichen V zu .
Einer Wartschlange entspricht dann ein Weg vom Punkt O(0/0)
nach dem Punkt P(12 / 8) ( unser Zahlenbeispiel ).
Dieser Weg besteht also aus 12 Horizontalschritten
(parallel zur x-Achse)
und 8 Vertikalschritten (parallel zur y-Achse).
Die Nebenbedingung ,dass keine Stockungen entstehen,
wird durch einen Korrekturfaktor vor dem
Binomialkoeffizient erfüllt.
Bei der Teilaufgabe b) wird dieser Ausgleich durch eine
Subtraktion erledigt.
Diese Zusatzbedingung macht die Schwierigkeit bei der Lösung
aus.
Die allgemeine Lösung wurde denn auch erst im Jahre
1887 auf breiter Basis durch den französischen Mathematiker
D. André auf grund von Vorarbeiten seines Landsmannes
M.Bertrand angegeben.
Leider muss ich hier abschliessen und auf halbem Weg stehen bleiben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 10:53: |
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Hi Ramon,
Für ein vertieftes Studium des vorliegenden
Problems der Warteschlange vor einer Kinokasse
möchte ich eine Literaturangabe anbieten
Es handelt sich um das
Klett Studienbuch Mathematik
KlettVerlag,Stuttgart / 1973
Einführung in die Kombinatorik
von Max Jeger
(S.135 – S.146)
Deine Aufgabe selbst findet man wortwörtlich
in der Aufgabensammlung
Jeger / Ineichen
Kombinatorik, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Orell Füssli Verlag , Zürich / 1971
(S.25)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
ramon
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 11:54: |
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danke vielmals ....ich werde diese Bücher einmal ausleihen aus der Bücherei und mit deiner Lösung glaube ich, dass ich zurecht komme..nochmals danke
raim |
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