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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 18:39: | 
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Hi Leute!
Eigentlich bin ich nicht mehr in Klasse 11,aber ich habe trotzdem eine Aufgabe zu lösen,die sich mit diesem Thema Arithmetik befasst.Vielleicht könnt ihr mir trotzdem helfen?
Okay,hier die Aufgaben:
1.)Sei Mn die Menge {1,2,...,n}.Wieviele bijektive Abbildungen von Mn in sich gibt es?(Hilfe:Es empfiehlt sich zunächst für kleine n zu probieren,dann eine Vermutung aufzustellen und diese dann zu beweisen!)
2.)Mit f=(1 2 3) und g=(1 2 3) werden
2 1 3 1 3 2
(die 2 soll unter der 1 stehen die 1 unter der 2 und die 3 unter der 3 bei f,bekomms nicht besser hin)jene Bijektionen von M3 auf sich bezeichnet, die jeweils die Elemente der oberen Zeile auf die darunter liegenden Elemente abbilden.Schreiben Sie in der gleichen Weise die zusammengesetzten Abbildungen g°f und f°g
Bitte helft mir! Ich muß die Aufgaben am Mittwoch abgeben!
DANKE! Gruß Miriam |
brr
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 22:05: |
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Hi Miriam!!!
Mal wieder brr. Irgendwie scheint sich ja hier keiner um die richtige Mathemtik zu kümmern!!!
Ich probiers daher mal.
M:={1,2,3}
f: M geht nach M f(1)=1
f(2)=2
f(3)=3
Um alle weiteren bijektiven Abbildungen von M nach M zu finden , musst Du nur die Bilder vertauschen, aber jedes Bild darf nur einmal verwendet werden:
g: M nach M g(1)=2
g(2)=3
g(3)=1
h: M nach M h(1)=3
h(2)=1
h(3)=2
es gibt noch i, j, k.
Ich hoffe das hilft schon ein wenig.
Wenn man ünerlegt, so stellt man fest:
Ich habe eine Menge mit n Elementen.
Wenn ich eine Abbildung definiere , dann habe ich am Anfang n Möglichkeiten, dem ersten Element ein Bild zuzuweisen.
danach habe ich nur noch n-1 Möglichkeiten.
bis zum letzten Element habe ich immer eine Möglichkeit weniger ein Element zuzuweisen.
Also habe ich n*(n-1)*...*2*1 Möglichkeiten=>
Anzahl der bijektiven Selbstabbildungen = n!
Zu 2 :
f(1)=2 , f(2)=1 , f(3)=3 ; g(1)=1 , g(2)=3, g(3)=2
Nur zur Anschauung:
f bildet eine Menge X auf eine Menge Y
g bildet eine Menge Y auf eine Menge X
(klar in diesem Fall ist X=Y aber zur Anschauung ist es so besser )
g°f ist definiert als die Abbildung für die gilt :
g°f : X nach Y nach X
(g°f)(x)= g(f(x)) das geht aber nur , wenn der Defbereich von g mit dem Wertebereich von f übereinstimmt .
(g°f) (1)= g(f(1))=g(2)=3
g(f(2))=g(1)=1
g(f(3))=g(3)=2
f°g : f(g(1))= usw.
Sorry , dass es nicht ausführlicher ist , aber ich habe gerade nicht so viel Zeit .
Aber soweit alles klar ??? |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 15:56: |
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HI brrr!
Das hilft mir schon super viel! Tausend Dank! Eine Frage hätte ich aber noch! Reicht es dann bei Aufgabe 1 nur n! so stehen zu lassen,oder muß ich das noch mittels vollständiger Induktion beweisen?
Lieber Gruß und nochmal DANKE!
Miriam |
brr
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 16:11: |
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Hi Miriam!
Ich denke ja !
Ich weiss aber nicht genau wie!
Ich versuche mal :
Sorry, ich würd Dir ja jetzt schnell helfen, aber keine Ahnung wie, zumal ich bis Morgen auch noch einen Zettel lösen muss.
Wenn ich noch ne Idee habe , dann schreibe ich sie Dir , also schau ruhig nochmal ganz spät heute Abend nach , falls Du kannst.
brr |
ren
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 17:37: |
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Hallo brr, hallo Miriam,
Entschuldigt, dass ich mich einschalte, aber das Problem wurde eigentlich am Montag schon gelöst. Miriam hatte weiter unten auch die Aufgabe gestellt, per vollst. Induktion zu beweisen, dass es genau n! verschiedene Anordnungen für {1,...n} gibt. Und die bijektiven Abbildungen einer endlichen Menge in sich sind nichts anderes als Permutationen. Die Überlegungen von Thomas gelten auch für diese variierte Aufgabenformulierung.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe n! Bijektionen einer n-elementigen Menge in sich.
Sei nun in einer Menge mit n+1 Elementen das erste sich selbst zugeordnet. Dann gibt es n! Bijektionen dieser Art ( 1 ® 1 ). Dies lässt sich wiederholen, indem dem ersten das zweite Element zugeordnet wird; auch hier gibt es n! Bijektionen. Insgesamt kann dieser Vorgang (n+1)-mal durchgeführt werden. Es gibt also n! ( n+1) = (n+1) ! Bijektionen.
Beispiel: n = 3
[Da ich auch nicht weiß, wie man die übliche Notation hier darstellt, verwende ich die Schreibweise (1 2 3) auf (1 2 3) ]
Mögliche Bijektionen:
(1 2 3) auf (1 2 3)
(1 2 3) auf (1 3 2)
(1 2 3) auf (2 1 3)
(1 2 3) auf (2 3 1)
(1 2 3) auf (3 1 2)
(1 2 3) auf (3 2 1) |
Gisi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Dezember, 2001 - 20:18: |
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Hallo hier gisi
Brauche Hilfe
Ziehe teilweise die Wurzel und vereinfache:
6W(12)+4W(27) =
und berechne zunächst die binomische Formel und ziehe anschließend so weit wie möglich die Wurzel:
(2W(15)-4W(3)² |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Dezember, 2001 - 21:07: |
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Hallo Gisi
6Ö12+4Ö27
=6Ö(3*4)+4Ö(3*9)
=6*2Ö3+4*3Ö3
=12Ö3+12Ö3
=24Ö3
(2Ö15-4Ö3)²
=4*15-8Ö(15*3)-16*3
=45-8Ö45-48
=-3-8Ö(5*9)
=-3-8*3Ö5
=-3-24Ö5
Mfg K. |
Allmut
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Dezember, 2001 - 21:53: |
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Lieber K.,
muß es nicht nach der 2. binomischen Formel in Aufgabe 2) heißen:
4*15-16Ö(15*3)-16*3 ???
=60 -16Ö(45) - 48 ??
=12 - 16{(5*9)}
=12 - 16*3Ö5
=12 - 48Ö5 ???
Bitte um Korrektur!
Gruß A. |
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