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Der körper der reellen Zahlen IR

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isabel
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 12:24:   Beitrag drucken

Hallo,Das problem bei mir ist, ich habe profil-mathe genommen, und ich muss diese aufgaben lösen, wobei ich überhaupt nichts verstehe!! könntet
es mir bitte erklären, würde mich sehr über ihre hilfe freuen!!!

was ist mit körper der reellen zahlen gemeint??

Körperbegriff/Anordnung:

a) Das neutrale Element 0 der Addition und 1 der Muliplikation ist eindeutig bestimmt
Anleitung: Angenommen 0 und 0' wären beide neutral bei der Addition. Wieso wäre
0+0' sowohl gleich 0 als auch gleich 0'? Was folgt daraus? Beweise ähnlich die Eindeutigkeit der 1!
b)Wenn 0 das neutrale Element der Addition ist , gilt 0*a=0 (null mal a gleich null)
für jedes aEK.
Anleitung: (0+0)a=0*a+0*a=O*a=0
Welche Axiome wurden ihr verwwendet? (Was ist eine Axiome?)
c)Wenn a*b=0 ist, so sit wenigstens einer der Faktoren a oder b Null!
d) In keinem Körper besitzt das neutrale Element der Addition 0 ein Inverses bezüglich der multiplikation.
(Was ist Inverses?)
Anleitung: Angenommen, es gäbe doch ein Inverses 0 hoch quatrat -1 (0 hoch -1).
Dann wäre 0*0hoch -1 = 1 --->(Pfeil) 0*0*0hoch -1= 0*1. Warum und wie ergibt sich nun ein Widerspruch??


Was ist eine Körperaxiome, ich verstehe den Sinn dabi nicht!

nächste Frgae!!!!
Verknüpfungen,Gruppen
es sei G=IN. man untersuche folgende verknüpfungen auf Abschlossenheit, Assoziativität, Existenz neutraler
und inverser Elemente und Kommutativität. ( verstehe nicht was alles damit gemeint ist, bitte erklären sie mir es!)
a) a°b=a-b
b)a°b= größter gemeinsamer teiler von a,b
c)a°b= kleinstes gemeinsames Vielfaches von a,b

so, ich werde erst mal auf eure antwort abwarten, dann werde ich euch eine neue frage stellen, danke!!!!!!!!!
mit freundlichen grüssen, isabel.
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buh
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Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 10:18:   Beitrag drucken

was ist mit körper der reellen zahlen gemeint??

Körper ist eine algebraische Struktur.Damit eine Menge M Körper heißt, müssen bestimmte Eigenschaften/Bedingungen erfüllt sein. Zunächst müssen auf M zwei Rechenoperationen erklärt sein: Beide Operationen müssen
-abgeschlossen sein, d.h. wenn man zwei Zahlen aus der Menge nimmt und damit rechnet, so ist das Ergebnis wieder eine Zahl aus der Menge M.
-kommutativ sein
-für beide muss das Assoziativgesetz gelten. Außerdem muss jede der Operationen in der Menge M ein Neutralelement besitzen.
(Beispiel: Für die reellen Zahlen existieren eine Addition und eine Multiplikation. Beide sind assoziativ und kommutativ. Das Neutralelement (eine reelle Zahl, deren Verwendung bei der Operation nichts verändert) für die Addition ist die Null; das NE für die Multiplikation ist die 1.)
Zudem muss für beide Operationen jeweils gelten: Wenn man eine Zahl aus der Menge M nimmt, gibt es eine (i.d.R.) andere Zahl,die zusammen mit der ersten beim "Rechnen" das Neutralelement ergeben.
(Beispiel: Bei der Addition der reellen Zahlen gibt es zu jeder Zahl a die Zahl -a, so dass gilt: a + (-a) = 0. Bei der Multiplikation gibt es zur Zahl a das Reziproke 1/a, so dass gilt: a*1/a = 1.)
Diese "Partnerzahl" nennt man das INVERSE.
Es müssen also alle diese Eigenschaften gültig sein. Außerdem müssen beide Rechenoperationen in ihrer Verbindung das Distributivgesetz erfüllen. Also muss gelten: a*(b+c)=a*b+a*c.
Diese Forderungen an einen Körper (Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz der Neutralen und der Inversen, Kommutativität sowie Verknüpfung mittels Distributivgesetz) nennt man die KÖRPERAXIOME. (Ein Axiom ist eine Grundvoraussetzung)

Sinn der gestellten Aufgabe ist es, zu zeigen, dass allein aus diesen Axiomen bestimmte weitere Eigenschaften für diese Zahlenmenge folgen, also auch gültig sind. Die Frage a) "Das neutrale Element 0 der Addition und 1 der Muliplikation ist eindeutig bestimmt." meint also: Wenn man einen Körper hat (diese Axiome also für diese Menge gelten), dann hat die Operation "Addition" nur genau ein einziges neutrales Element; es gibt kein weiteres Element, das auch neutral ist.
Das Problem für jeden Schüler ist dabei, dass bis Klasse 11 nur Zahlenmengen und Operationen auftreten, für die diese Eigenschaften im Wesentlichen gelten; keiner zweifelt z.B. am Kommutativgesetz.
"Anleitung: Angenommen 0 und 0' wären beide neutral bei der Addition." Wir beweisen, dass die beiden "verschiedenen" 0 und 0' gar nicht verschieden sein können:
(1) Das Neutralelement 0 bewirkt, dass a+0=a gilt.
Dann hat 0 diese Wirkung auch für 0'; also 0'+0=0'.
(2) Wenn 0' auch ein Neutralelement ist, dann muss gelten: a+0'=a. Somit hat 0' diese Wirkung auch auf 0: 0+0'=0
(3) Wegen der Kommutativität ist aber 0+0'=0'+0; es gibt nur ein Ergebnis!!! Das Ergebnis von (1), das 0' heißt, ist also identisch mit dem Ergebnis von (2), das aber 0 heißt. Also ist 0=0'.
(Mit der 1 in der Multiplikation verfährt man ähnlich.) Das alles haben wir gezeigt, in dem wir NUR die Eigenschaften aus den Körperaxiomen benutzt haben.
Zu "b)Wenn 0 das neutrale Element der Addition ist , gilt 0*a=0 (null mal a gleich null)
für jedes aEK."
(1) Zunächst ist 0 das Neutralelement der Addition: Dann gilt auch 0+0=0.
(2) Im Körper gilt das Distributivgesetz für alle Elemente, also auch: (0+0)*a=0*a+0*a. Aber was ist das? Rechnet man zuerst die Klammer aus [0+0], erhält man: (0+0)*a=0*a
(3) Aus (1) und (2) ergibt sich: 0*a+0*a=0*a. Dabei haben wir 0*a addiert, das Ergebnis ist aber wieder der erste Summand. ALSO HABEN WIR DAS NEUTRALELEMENT BENUTZT! 0*a muss also 0 sein, denn das ist ja das NE der Addition. Also ist 0*a=0.
Interessant ist dabei, dass das in JEDEM Körper so sein muss; wir haben wieder nur Körperaxiome verwendet.
Ähnlich geht man auch bei c) und d) vor. [a hoch minus Eins bezeichnet das Inverse zu a bei der Multiplikation.]

Reicht das erstmal? Wenn nicht, meld dich wieder.

Gruß von buh aus dem buhniversum

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