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Alizee
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 19:32: | 
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Hi!
Könnt ihr mir bitte helfen.Ich habe eine Hausaufgabe mit der ich nichts anfangen kann.
Das ist sie:
f1 und f2 seien ganze rationale Funktionen vom Grade n bzw. m. Welchen Grad hat die Funktion f höchstens (mindestens)?
a)f(x)=f1(x)+f2(x2)
b)f(x)=f1(x)*f2(x)
Für Hilfe wäre ich ech wirklich sehr dankbar.Ich weiß nämlich überhaupt nicht, was ich da machen soll. |
Andreas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 10:59: |
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Hi Alizee!
a)
Falls m der höhere Grad ist hat
f1(x)+f2(x) den Grad m,
falls n der höhere Grad ist,
hat es den Grad n.
b)
Eine ganzrationale Funktion hat stets
die Form: f(x)=ax^n+b^(n-1)+...+cx²+dx+e
Daher würde für das Produkt gelten:
f1(x)=ax^m+bx^(m-1)+...
f2(x)=cx^n+dx^(n-1)+...
f1(x)*f2(x)=(ax^m+bx^(m-1)+...)*(cx^m+dx^(m-1)+...)
=ac*x^m*x^n=acx^(m+n) (siehe Potenzrechenregeln)
Die Funktion f1(x)+f2(x) hat also höchstens
dn Grad m+n.
Zur Verdeutlichung kannst du ja zu a) und b)
mal ein Beispiel rechnen.
Ciao, Andreas |
Alizee
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 15:53: |
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Ich bin dir wirklich für deine Hilfe sehr dankbar, aber damit kann ich nicht wirklich etwas anfangen.Was ist dn zum Beispiel.Wir hatten nur die Formel:
f(x)=a^n x^n+a^(n-1)x^(n-1)+...+a^2x²+a^1x+a^0 |
Andreas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 17:48: |
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Bei der Herleitung für f1(x)*f2(x)
hab ich mich einfach nur verschrieben:
Es sollte heißen:
"Die Funktion f1(x)*f2(x) hat also
höchsten den Grad m+n."
Mathematisch gesprochen ist der Grad einer
Funktion immer der höchste auftretende
Exponent der Variablen
Du kannst dir ja mal ein Beispiel überlegen:
f1(x)=2x²+5x+4 der Grad m=2
f2(x)=7x³+10 der Grad n=3
Addition:
f1(x)+f2(x)=7x³+2x²+5x+14 (gleich nach Potenzen geordnet)
Der Grad dieser neuen Funktion ist wiederum 3
Multiplikation:
f1(x)*f2(x)=(2x²+5x+4)*(7x³+10)
=2x²*7x³+...
=14x5+...
Der Grad ist m+n=5
Den Rest des Produktes habe ich weggelassen,
da das Produkt der Variablen mit den höchsten
Exponenten der neue höchste auftretende Exponent
sein muss.
In deiner allgemeinen Formel ist das
genauso:
(Bei mir ist a=an
(amxm+am-1xm-1+...)*(bnxn+bn-1xn-1+...)
=amxmbnxn+amxmbn-1xn-1+...+am-1xm-1bnxn+am-1xm-1bn-1xn-1
Wenn ich der Übersicht wegen alle Koeffizienten
(da sie für den Grad der Funktion unwichtig sind)
weglasse, ergibt sich:
xm+n+xm+n-1+xm-1+n+xm+n-2
(Rechenregeln für Potenzen beachten: xm*xn=xm+n)
Damit wird deutlich, dass m+n der höchste
auftretende Exponent und somit Grad
der Produktfunktion ist.
Ciao, Andreas |
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