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Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Januar, 2003 - 18:45: | 
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Wir hatten einmal in der Schule Aufgaben, wo wir Parabelgleichungen des 3. Grades bestimmen sollten.
Wenn es in so einer Aufgabe heisst, dass das Schaubild symmetrisch zum Ursprung ist, fällt da das bx² immer weg?? Und wenn man es nicht weiß, dass es bei so einer Aufgabenstellung wegfällt (also das bx²) kommt man dann auf eine andere (falsche) Gleichung ? Weil ich bemerkt habe, dass meine Gleichungen zwar "richtig" in dem Sinne waren, dass wenn ich x eingesetzt habe, dass das richtige y dafür rauskam was gegeben war, aber in der Schule habe ich dann gesagt bekommen, sie seien trotzdem falsch.
Oder als Hausaufgabe haben wir jetzt eine Aufgabe bekommen, wo es heisst.
Das Schaubild geht durch die Punkte P(2/0) und R (1/-5) und berührt die x-Achse im Ursprung.
Das richtige Ergebnis lautet für die Gleichung was wir schon gegeben bekommen haben: 5x3-10x²
Aber auf dieses Ergebnis komme ich nur, wenn ich für c (also cx) 0 setze und für d sowieso 0...
Kann mir jemand das vielleicht bisschen erklären?
Wäre dafür sehr dankbar!!
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grandnobi (grandnobi)
Mitglied
Benutzername: grandnobi
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Januar, 2003 - 14:40: |
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Hi Hallodri,
Nur keine Angst, mit dem allgemeinen Ansatz machst Du nichts verkehrt! Wenn Koeffizienten einer Funktionsgleichung den Wert 0 haben, dann ist es zwar schön, wenn man das frühzeitig erkennt, aber im Laufe der Rechnung käme man früher oder später auch auf das gleiche Ergebnis.
Beispiel:
"Eine Funktion 3. Grades soll punktsymetrisch zum Ursprung sein".
Der allgemeine Ansatz lautet f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Jetzt hätte es Dein Lehrer natürlich gern, daß Du schon an der Aufgabenstellung erkennst, daß d=0 (diese Funktion verläuft durch den Punkt (0;0) ) und b=0 (wegen der Punktsymetrie zum Ursprung), und b bzw. d gar nicht erst in den Ansatz aufnimmst.
Aber angenommen, Du es erkennst es nicht sofort oder Du bist Dir nicht ganz sicher, dann führt der vollständige, allgemeine Ansatz auch zum Ziel.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Für den Koeffizienten d führt die Bedingung f(0)=0 unmittelbar zu d=0
Wegen der Punktsymetrie zum Ursprung wählt man folgenden Ansatz
f(x) = -f(-x).
Das muß für jeden x-Wert des Definitionsbereichs gelten, also auch für
f(1) = -f(-1).
eingesetzt ergibt das:
a + b + c = a - b + c
und daraus b=0
Also könnte man ab hier ohnehin mit dem vereinfachten Ansatz f(x) = ax³ + cx weiterrechnen.
Beispiel:
"Eine Funktion 2. Grades ist symetrisch zur y-Achse".
Der allgemeine Ansatz lautet f(x) = ax² + bx + c
Aufgrund der Achsensymetrie gilt f(x) = f(-x), also auch f(1) = f(-1)
a + b + c = a - b + c
und daraus folgt b=0
Auch hier käme man also sehr schnell auf den vereinfachten Ansatz f(x) = ax² + c
Deine Aufgabe
Diese Aufgabe hat mit dem obigen Thema eines vereinfachten Ansatzes eigentlich gar nichts zu tun. Die Funktion ist nämlich gar nicht symetrisch, sondern muß "ganz normal" gelöst werden.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + bx + c
1. Bedingung f(0)=0
d = 0
2. Bedingung f'(0)=0
Im Ursprung soll die x-Achse nur "berührt" werden, nicht "geschnitten". Also liegt dort ein Extremwert vor.
c = 0
3. Bedingung: f(2)=0
0 = 8a + 4b + 2c + d
4. Bedingung: f(1)=-5
-5 = a + b +c + d
b=-10; a=5
f(x) = 5x³ - 10x²
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Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Januar, 2003 - 14:54: |
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Hi!
wenn ihr nur Polynome hattet, die der Form ax³+bx²+cx+d= z
waren, dann kann man an den hochzahlen erkennen, ob der Funktoinsgrapf y-Achsensymmetrisch (also: f(-x)=f(x)) oder symmertrisch zum Ursprung (also f(-x)=-f(x)) ist.
bei Polynomen ohne Bruchterm, ist also ein Polynom mit nur ungeraden Potenzen (also hochzahlen) symmetrisch zum Ursprung. nur ungerade Potenzen heißt dann aber:
ax³+0x²+cx+d
nur gerade wären z.B.:
ax^4+cx²+e
beispiele y-Achsen-symmetrisch:
f(x)= 1/4x^4+2x²+1
f(x)=cosx
beispiele von Ursprungs-symetrischen Funktionen:
f(x)=1/3x³-3x
f(x)= sinx
wenn allerdings bruchterme drin vorkommen:
bsp: x/(x³+3), dann sieht man das nicht mehr sofort. in diesem Beispiel ist die Funktion nämlich y-achsen symmetrisch und nicht wie man vermuten könnte, symmetrisch zum Ursprung.
wenn ihr mit solchen Polynomen aber noch nciht gearbeitet habt, kannst Du von der obigen Richtlinie ausgehen. (frag doch auch nochmal Deinen Lehrer!!!)
bei dem zweiten würde ich Dir erstmal recht geben, dass man da etwas auf dem Schlauch steht. man fängt an, sich allgemeine Gleichungen aufzuschreiben und stellt dann fest, dass man das nicht eindeutig lösen kann, bei 2 Gleichungen und 3 unbekannten. (das d=0 ist, weiß man aus dem Ursprung als Berührpunkt)
also wüsste ich auch nciht weiter, außer, dass man sich einfach eine schöne Lösung ausgedacht hat: nach meine Meinung könnte man auch genausogut: f(x)=10x³-25x²+10x
für c gibt es also unendlich viele Lösungen. (weiß nicht, ob ihr schon Matrizenrechenen hattet?, da kann man diese Lösungen dann ausrechnen). deswegen, könnte ich Dir noch mehrere Beispiele angeben....
aber: wir haben noch eine eigenschaft der Funktion vergessen: der Punkt (0/0) ist berührpunkt! also ist das sehr wahrscheinlich ausschlaggebend. das der Punkt (0/0) Berührpunkt ist, heißt, dass die Steigung an der Stelle (0/0) gleich 0 ist. wenn Du aber ein Polynom ax³+bx²+cx ableitest bekommst Du an der Stelle 0 immer eine Steigung, die entweder positiv oder negativ, aber nicht 0 ist. es sei denn C=0! also habe wir hier die Lösung, weshalb c=0 sein muss!
naja, ich hoffe Du konntest meinen Gedanken ein wenig folgen. wenn es zu durcheinander ist oder Du noch nachfragen hast, nur zu!!
schöne Grüße!
Barbara |
Barbara (laikalou)
Mitglied
Benutzername: laikalou
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Januar, 2003 - 14:56: |
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naja.....jetzt hast Du 2 ösungsvorschläge...*grins*...
natürlich sind beide gleich gut!....
war etwas zu spät! ;-)
Barbara |
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