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Hallo (merci)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: merci
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 11:34: | 
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Die Gleichung sieht so aus: ft(x)= x³-6x²+(t+3)*x-t+2
Wie gehe ich da vor? Also ich brauche ein t, dass das Schaubild von f nur zwei Nullstellen hat. |
grandnobi (grandnobi)
Mitglied
Benutzername: grandnobi
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 14:54: |
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Hi Hallo,
bei genauerer Betrachtung der Funktionsgleichung hat mir bei dieser Aufgabe "Kommissar Zufall" entscheidend weitergeholfen:
Es gibt einen Wert für x, bei dem der Funktionwert stets unabhängig von t ist. Für x=1 elimieren sich die t's , alle Graphen dieser Schar verlaufen bei x=1 durch den selben Punkt. Und der y-Wert an der Stelle ist hilfreicherweise ft(1)=0.
xN1 = 1
Nun besitzen alle Graphen dieser Funktionsschar mindestens 1 und maximal 3 Nullstellen. Nachdem die eine, die alle mindestens besitzen, bekannt ist, können wir eine Polynomdivision durchführen:
x³ - 6x² + x(t+3) - (t-2) : (x-1) = x² - 5x + (t-2)
Soll die Gesamtfunktion nur 2 Nullstellen besitzen, so darf die Teilfunktion x² - 5x + (t-2) nur 1 Nullstelle besitzen.
x² - 5x + (t-2) = 0
xN 2,3 = 5/2 +/- Ö(25/4 -t + 2)
Soll nur eine 2. Nullstelle bestehen, so muß die Diskriminate den Wert Null haben.
25/4 - t + 8/4 = 0
t = 33/4 = 8,25
Für t = 8,25 hat die gegebene Funktion nur 2 Nullstellen.
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grandnobi (grandnobi)
Mitglied
Benutzername: grandnobi
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 10:26: |
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Ergänzend zu obiger Lösung möchte ich hinzufügen, daß es mit t=6 noch eine 2. Lösung für diese Aufgabe gibt.
Ansatz:
ft'(x=1)=0
d.h. im Punkt (1;0) liegt ein Maximum vor.
ft'(x) = 3x² - 12x + t + 3
ft'(1) = 3 - 12 + t + 3 = 0
t=6
xN1,2 = 1
Polynomdivision führt auf
(x³ - 6x² + 9x - 4) : (x-1) = x² - 5x + 4
xN3,4 = 5/2 +/- Ö(9/4)
xN3 = 4
xN4 = 1 = N1,2 |
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