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Peter (mephisto86)
Neues Mitglied
Benutzername: mephisto86
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 21:17: | 
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Ich weiß net wie ich folgendes lösen soll:
"Begründen Sie: Der Graph einer ganzrationalen Funktion von ungeradem Grad schneidet die x-Achse mindestens einmal" |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 22:19: |
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Hi Peter,
Sei P(x) = a2k+1x2k+1 + a2kx2k + ... + a1x + a0 mit a2k+1 ¹ 0
ein Polynom mit ungeradem Grad. Dieses Polynom ist stetig (Beweis durch Cauchy-Kriterium). Durch einfache Grenzwert betrachtungen findet man heraus, dass gilt:
limx->oo P(x) = sgn(a2k+1)*oo
limx->-ooP(x) = -sgn(a2k+1)*oo
Bspw. x->-oo für P(x) = -oo dann ist x->+oo für P(x) = oo. (Die Grenzwerte unterscheiden sich nur im Vorzeichen.
Da nun die Grenzwerte der Randpunkte des Definitionsbereiches unterschiedliches Vorzeichen tragen, und die Funktion stetig ist ("Man kann sie zeichnen ohne abzusetzen") muss sie die x-Achse in einem Punkt P0 schneiden.
Das ist zwar kein mathematisch exakter beweis, aber durchaus anschaulich.
Gruß |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 22:20: |
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Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass
sgn(x)
die Vorzeichenfunktion von x ist. Es gilt
sgn(x) = 1 für x > 0
sgn(x) = -1 für x < 0
sgn(x) = 0 für x = 0 |
