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Alexander (mrknowledge)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Januar, 2003 - 15:28: | 
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Hi,
folgende Zahlenfolgen sind gegeben und wenn Sie konvergent sind, sollen sie berechnet werden...
Normalerweise suche ich immer ne kleinere und ne größere Folge und schließe die gesuchte Folge ein um den Grenzwert zu bestimmen. Wie kann man all. an diese Konvergenzproblem rangehen?
Bei b ist der Grenzwert NICHT 1
a.)
an=(3n-4/3n+2) hoch (n+1/3)
b.)
an = (1+1/n^2) hoch n
c.)
an = n^2(1-cos 1/n)
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 845
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Januar, 2003 - 22:59: |
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a)ich nehm an, es ist q^(n + 1/3), q = Z/N = (3n-4)/(3n+2) gemeint.
dann
ist
Z = eln(3n-4), N = eln(3n+2),
q = eln[(3n-4)/(3n+2)],
also
ln(an) = (n + 1/3)*ln[(3n-4)/(3n+2)] = f1*f2
eGrenzwertDesLn ist dann der gesuchte.
für
n -> oo geht f1 -> oo, f2 -> 0, daher Umformung
f2 / (1/f1) damit Form 0/0, L'Hospital anwenden,
ergibt
limn->oo(ln(an)) = -2, also
limn->oo(an) = e-2 ;
b) sollte ähnlich a möglich sein
c) nehme an (n^2)*(1 - cos(1/n))
es
gilt 1-cos(1/n) = 2*sin²(1/(2n)) man hat also
2*[n*sin(1/(2n))]^2 und quadriert den []Grenzwert
der
sich nach Umformung in [sin(..)] / [1/n]
und
Anwendung von L'Hospital als 1/2 ergibt,
somit
limn->oo(an) = 2*(1/2)^2 = 1/2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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