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Beitrag |
    
snaut
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 15:37: | 
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Hallo,
kann mir bitte jemand anschaulich erklären, wie ich die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung errechnen kann?
(4x+6)/(2x+5) < 3
Danke im voraus! |
Verena Holste (Verenchen)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 17:52: |
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Du gehst fast so vor wie bei einer Gleichung:
(4x+6)/(2x+5) < 3 |*(2x+5), für (2x+5)>0 => x>-2,5
4x+6 < 6x+15 |-6
4x < 6x+9 |-6x
-2x < +9 |/(-2)
x > -4,5.
Das gleiche kannst du auch machen für (2x+5)<0 => x<-2,5, dann kommt heraus: x < -4,5. |
nufan
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 18:30: |
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Hallo Verena,
ich habe nichts gegen deinen Lösungsweg einzuwenden, ich finde nur, die Lösungsmenge müsste etwas deutlicher aufgeschrieben werden:
Die Ungleichung ist erfüllt für alle x mit
x < -4.5 oder -2.5 < x |
Bergspitze
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 20:59: |
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Hi nufan,
nicht: oder
sondern: UND |
nufan
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 22:20: |
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Hallo Bergspitze,
ich habe Schwierigkeiten, dich zu verstehen.
Könntest du die Bindewörter durch Haupt- und Zeitwort ergänzen? |
Bergspitze
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 09:43: |
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Hi nufan,
Die Ungleichung ist erfüllt für alle x<-4,5 UND für alle x>-2,5. |
snaut
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 11:06: |
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Hallo, danke erstmal für eure Hilfe. Aber ich verstehe nicht so ganz, wie man darauf kommt, dass die Ungleichung für alle x > -2,5 erfüllt ist. Und wieso steht da am Ende der Umwandlung x > -4,5?
Sorry für meine Unwissenheit... |
Bergspitze
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 12:39: |
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Hallo snaut,
Nirgendwo steht x > -4,5 |
Bergspitze
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 12:41: |
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Sorry,
Bei Verena steht tatsächlich x > -4,5
Dies ist natürlich vollkommen falsch! |
nufan
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 14:44: |
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Hallo Bergspitze,
so ganz sicher sind wir uns wohl beide nicht, was man bei Ungleichungen schreiben darf und was nicht, denn ich finde nicht, dass x > -4,5 vollkommen falsch ist, man darf es unter gewissen Vorbedingungen hinnehmen.
Ich versuche, den Lösungsweg von Verena noch etwas durchstrukturierter darzustellen.
(4x+6)/(2x+5) < 3
Die Operation |*(2x+5) kann zwei verschiedene Auswirkungen haben, je nachdem,
ob entweder 2x+5 < 0 oder 0 < 2x+5 gilt.
Es gilt also
entweder:
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für 0 < 2x+5 <=> -2,5 < x
(4x+6)/(2x+5) < 3 |*(2x+5)
4x+6 < 6x+15 |-4x -15
-9 < 2x |:2
-4,5 < x Man sieht, dass das x > -4,5 von Verena durchaus seine Berechtigung hat.
Es ist zu berücksichtigen, dass dies nur unter der (oben unterstrichenen) Bedingung -2,5 < x gilt,
also gilt (-4,5 < x) UND (-2,5 < x), was dazu führt, dass
-2,5 < x
gilt.
#####################################################
oder:
#####################################################
Das gleiche kannst du auch machen für
2x+5 < 0 <=> x < -2,5,
(4x+6)/(2x+5) < 3 |*(2x+5)
4x+6 > 6x+15 |-4x-15
-9 > 2x |:2
dann kommt heraus: x < -4,5.
wieder ist zu berücksichtigen, dass dies nur unter einer Bedingung gilt, nämlich x < -2,5 (die aber diesmal keine Einschränkung bringt),
also gilt (x < -4,5) UND (x < -2,5), was dazu führt, dass diesmal
x < -4,5
gilt.
#####################################################
Es gilt also entweder -2,5 < x oder x < -4,5.
Die Ungleichung ist erfüllt für alle x, für die entweder -2,5 < x oder x < -4,5 gilt.
Die Formulierung der Lösungsmenge, dass die Lösung allen reellen x mit -2,5 < x oder x < -4,5 angehören darf,
und die Formulierung "Die Ungleichung ist erfüllt für alle x<-4,5 UND für alle x>-2,5"
schließen sich meiner Meinung nach nicht aus.
Ich denke, man darf beides sagen, da das rote oder kein ausschließendes "entweder - oder" ist, sondern ein "oder", bei dem durchaus beide Möglichkeiten zugelassen werden.
Ein anderes Beispiel, wobei das "UND" wirklich notwendig ist:
Bei der Lösungsmenge der Ungleichung (4x+6)/(2x+5) > 3 hingegen würde ich klar sagen, dass nur UND zwischen den beiden Aussagen stehen darf:
-4,5 < x UND x < -2,5
da man ein ODER dahingehend missverstehen könnte, dass z.B. die linke Ungleichung auch ein x=2 zuließe und die Ungleichung x < -2,5 das dann nicht verhindern könnte, wenn sie mit ODER verknüpft wären. Deshalb hier auf jeden Fall UND.
Aber oben ist es meiner Ansicht nach egal.
Zur genauen Sprechweise wäre es auf jeden Fall besser, wenn sich mal ein Mengentheoretiker zu Wort meldete. |
snaut
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 17:27: |
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Danke für die gute Ausführung. Wenn man nun die Lösungsmenge als Vereinigung von Intervallen darstellen möchte, müsste das dann so aussehen!?:
Lösungsmenge 1: (-2,5; oo)
Lösungsmenge 2: (-oo; -4,5)
Gesamtlösungsmenge: (-oo; -4,5) U (-2,5; oo)
oo = 'unendlich'
U = Vereinigungsmenge |
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