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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2000 - 12:36: | 
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Hy,
Summenzeichen k=1 bis oo .
k!/ kk.
Wie gehe ich da , beid der Überprüfung der Konvergenz am besten vor.Bitte mit Lösung.
Gilt das gleiche auch für Folgen? |
Franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 10:36: |
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Die Reihe SUMME[n=0..oo]a(n); a(n)=n!/n^n konvergiert. Der Quotient benachbarter Glieder a(n+1)/a(n)=...=(n/(n+1))^n=1/(1+1/n)^n<=1/2; Quotentientenkriterium. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2000 - 12:07: |
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Hallo Franz ,
kriegst du das detaillierter hin.
Also bei Brüchen immer das Quotientenkriterium?
und wie wende ich das an.
Woran sehe ich, daß n!/nn (n AltGr ß + AltGr
.................................7 deine variable
.................................AltGr 8)
konvergiert? |
Franz
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Februar, 2000 - 07:53: |
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Die Anwendung des Quotientenkriterium (für Reihen mit positiven Gliedern) ist natürlich nicht zwingend. Genausowenig, wie an anderer Stelle der Einsatz bestimmter Differentations- oder Integrationsregeln. Wie beim Handwerker: Werkzeug & Erfahrung.
Soweit ich das als Laie überblicke, stehen ja grundsätzlich neben den Hauptkriterien die Vergleichskriterien (wenn ein gewisser Fundus von Majoranten/Minoranten bereits vorhanden ist) und die "internen" Kriterien (Quotienten/Wurzel) zur Verfügung. Wobei, nebenbei, das Quotientenkriterium von der geometrischen Reihe als Majorante her kommt.
Motive dafür, die Reihe gezielt in Richtung Quotientenkriterium zu untersuchen, könnten sein: a(n)>0; das schnelle Abfallen der Glieder der Reihe. Es liegt nahe, sich das Verhältnis benachbarter Glieder anzusehen. Der Rest ist trivial.
a(n):=n!/n^n;
a(n+1)/a(n)
=(n+1)!*n^n/((n+1)^(n+1) * n!)
=(n+1)*n^n/(n+1)^(n+1)=(n/(n+1))^n
=1/(1+1/n)^n<=1/2<1. |
H.R.Moser,megaath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2000 - 17:45: |
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Zu dieser Aufgabe möchte ich noch ein paar Ergänzungen anbringen
1) Dass die Reihe konvergiert , lässt sich auch mit dem Majorantenprinzip beweisen. Es gilt die mit vollständiger Induktion leicht zu beweisende Ungleichung k! / k ^ k 2 ( für k = 1 und 2 gilt das Gleichheitszeichen). Daraus folgt die Ungleichung für Reihen :
1 + 2! / 2^2 + 3! / 3 ^3 + 4 ! / 4 ^ 4 + .. < 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 /16 + ...
Auf der rechten Seite steht als sogenannte Majorante eine unendliche geometrische Reihe mit dem Quotienten q = ½ ; diese Reihe konvergiert und hat die mit der bekannten Formel berechneten Summe 1 / (1 - 1/2) = 2.
Damit ist nachgewiesen, dass die gegebene Reihe konvergiert und eine Summe S hat ,
für welche S < 2 gilt .
2) Wie Franz bereits darlegte, ist bei diesem Beispiel die Verwendung des Quotientenkriteriums von Cauchy angebracht. Es existiert sogar der Grenzwert g des Quotienten der aufeinanderfolgenden Glieder a (n+1), a (n) ; es gilt nämlich :
a (n+1) / a (n ) = (n+1) ! * n ^ n / ((n+1)! * (n+1)^ (n+1) ) = 1 / ((1 + 1/n ) ^ n) , und dies strebt gegen g = 1 / e < 1 für n gegen unendlich.
3)Mit Hilfe des Computeralgebrasystems Maple V lässt sich die Summe S näherungsweise berechnen :; es kommt: S =1.879853862 .
4)Ein Aufruf geht an die Koryphäen dieses Forums , den exakten Wert von S zu berechnen und nach Möglichkeit die Herleitung mir mitzuteilen.
Mit bestem Dank zum voraus.
M.f.G. H.R. |
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