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Moni
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 16:08: | 
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Meine Aufgabe lautet:
Für jedes a>0 ist du Funktion gegeben durch
fa (x)=ln (ax): x² ; x>0.
Untersuche den Graphen von fa auf schnittpunkte mit der X-Achse, Hoch und Tiefpunkte sowie auf Asymptoten.
Were kann mir ne Hilfe geben? |
K.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 09:27: |
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Hallo Moni
fa(x)=(ln(ax))/x²
Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen): f(x)=0
(ln(ax)/x²=0
<=> ln(ax)=0
=> ax=1
=> x=1/a
N(1/a;0)
Ableitungen bilden:
fa'(x)=[(1/ax)*a*x²-(ln(ax))*2x]/x4
=[x-2xln(ax)]/x4
=x(1-2ln(ax))/x4
=(1-2ln(ax))/x³
fa"(x)=[-2*(1/ax)*a*x³-(1-2ln(ax))*3x²]/x6
=[-2x²-3x²+6x²ln(ax)]/x6
=[-5x²+6x²ln(ax)]/x6
=x²(-5+6ln(ax))/x6
=(-5+6ln(ax))/x4
Extrema: fa'(x)=0
(1-2ln(ax))/x³=0
1-2ln(ax)=0
-2ln(ax)=-1
ln(ax)=0,5
=> ax=e0,5=Öe
=> x=Öe/a
Mit der 2. Ableitung überprüfen, ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt:
fa"(Öe/a)=[-5+6ln(Öe)]/(Öe/a)4
=[-5+6*0,5]/(e²/a4)
=-2/(e²/a4)<0 für alle a €R
=> Hochpunkt bei x=Öe/a
fa(Öe/a)=[ln(a*Öe/a)]/(Öe/a)²
=0,5/(e/a²)=0,5a²/e=a²/2e
H(Öe/a;a²/2e)
Asymptote: y=0
Mfg K. |
dunya
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 13:26: |
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Fur jedes a>0 ist die Funktion fa gegeben durch
fa (x)= Ln (ax):x²; x>0.
a) Untersuche den Graphen von fa auf Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch und Tiefpunkte sowie auf Asymptoten. Zeichne den Graphen im Bereich 0<x= oder < 3.
b) Bestimme die Funktionsgleichung für die Ortskurve der Hochpunkte.
c)Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P(u;f(u)) des Graphen von fa.
Fur welchen Wert von u geht diese Tangente durch den Ursprung? Fur welches a ist diese Tangente die erste Winkelhalbierende? |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. November, 2001 - 11:00: |
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Hallo Dunya
a) Nullstellen:fa(x)=0
<=> ln(ax)/x²=0
<=> ln(ax)=0
=> ax=e0=1
=> x=1/a
N(1/a;0)
Ableitungen bilden
fa'(x)=[(1/ax)*a*x²-2x*ln(ax)]/x4
=[x-2xln(ax)]x4
=[1-2ln(ax)]/x³
fa"(x)=[-2*(1/ax)*a*x³-3x²*(1-2ln(ax))}/x6
=[-2x²-3x²+6x²ln(ax)]/x6
=x²(-5+6ln(ax))/x6
=(-5+6ln(ax))/x4
Extrema: fa'(x)=0
(1-2ln(ax))/x³=0
1-2ln(ax)=0
2ln(ax)=1
ln(ax)=0,5
ax=e0,5
x=e0,5/a
fa"(e0,5/a)=[-5+6ln(a*e0,5/a)]/(e0,5/a)4
=[-5+6ln(e0,5)]/(e²/a4)
=(-5+3)/(e²/a4)
=-2a4/e² <0 wegen a>0
Die Funktion hat also an der Stelle x=e0,5/a ein Maximum.
Den zugehörigen y-Wert kannst du durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ermitteln.
y=0 ist waagerechte Asymtote
x=0 senkrechte Asymptote
Mfg K. |
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