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Andre
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 19:26: | 
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Hallo, mein Problem bezieht sich auf die Gleichung die ich für diese Spiegelung vorgegeben bekommen habe.
Man geht davon aus, daß die Gerade g, die die Funktion y=a hat, die Parabel hat x².
Wenn man nun von jedem Punkt G der Geraden den nächsten Punkt P auf der Parabel sucht und G an diesem spiegelt, bekomme man angeblich eine Gleichung 3. Grades. (da es von manchen Punkten der Ebene aus drei Normalen auf die Parabel gäbe).
Nur wie komme ich überhaupt auf diese Gleichung?
Das ist meine erste Frage. Auch wenn die Gleichung wohl unbrauchbar ist würde ich trotzdem gerne den Weg herausfinden, um auf diese zu kommen.
Ich habe auch noch eine zum richtigen weg, die poste ich morgen, ich hoffe Ihr könnt mir erstmal hiermit weiterhelfen, danke. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 22:24: |
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Der Ansatz dürfte folgender sein : Du hast einen Punkt auf der Gerade y=a.Dieser hat die Koordinaten P(x0;a). Nimm Dir nun irgendeinen Punkt auf der Parabel.Dieser hat die Koordinaten R(x;x2).Da der Abstand immer positiv ist,kannst Du auch das Quadrat der Abstandsfunktion minimieren und erhältst den Ausdruck
d(x) = (x0-x)2+(a-x2)2
d '(x)= -2(x0-x)-4x(a-x2) = 4x3+(2-4a)x-2x0
Im Minimum muß d'(x)=0 sein und schon hast Du die gesuchte Gleichung 3.Grades. |
Andre
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 23:53: |
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Aha, danke, nur dazu habe ich nun wiederrum auch noch ein paar Fragen ;)
Warum quadriere ich überhaupt die Abstandsfunktion (was ist an dieser Formel minimiert?)?
Und diese formel (d') beschreibt also den geringsten Abstand von P zu R. Wie lasse ich sie dann aber für den neuegespiegelten Punkt P' gelten (was hat sie dmait zu tun?)?
Was hat das ganze mit den Normalen zu tun, die 3 Punkte auf einen abbilden? Warum geht das nicht?
Sorry, für die vielen Fragen und nochmal danke für die schnelle Antwort! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Februar, 2000 - 12:44: |
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Kein Problem,denn schließlich zeigt das,daß Du Dich mit der Aufgabe und den Antworten beschäftigst und genau das wollen wir hier erreichen.
Was den Abstand angeht : Der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten A und B ist definiert als Ö((a1-b1)2+(a2-b2)2+(a3-b3)2)
Wenn Du das ableitest erhältst Du einen recht unangenehmen Term mit der Wurzel im Nennener. Nimmst Du aber das Quadrat des Abstands,dann hast Du ein einfach zu handhabendes Polynom. Das ist der Grund weswegen es einfacher ist bei der Bestimmung minimaler Abstände mit dem Quadrat zu rechnen.Der x-Wert des Ergebnisses ändert sich dabei ja nicht.
Thema : Minimierung
Der Abstand der Parabel zu dem gegebenen Punkt (x0;a) ist eine Funktion von x.Diese Minimierst Du nach dem üblichen Schema,also Ableitung Null setzen und wenn dann auch noch die zweite Ableitung größer als Null ist,hast Du dein Minimum.
Kleine Anmerkung : d'(x) ist nicht der minimale Abstand,sondern gibt die Änderung des Abstandes zum Punkt (x0;a) im Punkt (x;x2) an.Solange der Abstand durch Erhöhung von x abnimmt(also d'(x)<0),kann der minimale Abstand noch nicht erreicht sein.
Thema : Drei Normalen
d'(x) ist ein Polynom dritten Grades,das bis zu drei verschiedene Lösungen besitzen kann. Leider ist es ziemlich schwierig diese drei Lösungen allgemein anzugeben.Also hast Du zunächst nur die Information,daß es bis zu drei Punkte geben kann,die die geforderte Bedingung erfüllen.Zeichnest Du in diesen Punkten die Normalen,dann stehen alle drei senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen P und R(beachte : Es gibt drei verschiedene R).
Mit ein wenig mehr Überlegung kannst Du die Sache aber doch noch retten : d' kann zwar bis zu drei Nullstellen haben,aber wenn es mehrere gibt,ist eine davon ein Maximum.(Denn d geht von -¥ bis +¥)Die übrigen zwei müßten dann eingesetzt und verglichen werden.
Hast Du den richtigen Punkt R erstmal bestimmt,mußt Du nur noch die Verbindungsstrecke PR an R verschieben,um den Spiegelpunkt zu erhalten. |
Andre
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Februar, 2000 - 16:34: |
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Cool, danke!
Nur ich hab nicht verstanden, warum man das Teil einfach quadrieren darf?
Mit dem Minimum heißt also, daß wenn d'(x)=o ist die Steigung im Punkt (x/x²) am niedrigsten (gleich Null) ist und somit der geringste Abstand zum Punkt auf der Geraden erreicht ist? Und da das eben in 3 Punkten der Fall sein könnte, ist das Teil nicht endeutig. ;)
Achja , wenn ich versuche diese Gleichung:
d '(x)= -2(x0-x)-4x(a-x2) = 4x3+(2-4a)x-2x0
gleich Null zu setzen, krieg ich keine ordentlichen Werte heraus, auch Derive kriegt nur drei 'Monster'-Terme heraus, also war der anfängliche Gedanke, daß man das Teil nicht lösen kann also doch richtig, oder? Es sei denn man versucht mit den 'Monster'-Termen zu rechenn, diese einzuzeichnen?
"Zeichnest Du in diesen Punkten die Normalen,dann stehen alle drei senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen P und R(beachte : Es gibt drei verschiedene R)" senkrecht auf der Verbindungslinie oder? Aber bei mir im Text stand, daß es von manchen Punkte der Ebene aus drei Normalen auf die Parabel gäbe, nichts von den Normalen in den Punkten auf der Parabel, oder habe ich da war was falsch verstanden, von deinen Erklärungen?
Danke schon mal im Vorraus, du hast mir die Augen über diese Thema schon um einen großen Teil geöffnet. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Februar, 2000 - 23:32: |
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Hallo Andre,
ich werd mal versuchen bis morgen eine Zeichnung anzufertigen,die vielleicht mehr Klarheit bringt.
Zu Deinen Fragen :
Die Abstandsfunktion kannst Du problemlos quadrieren,weil der Abstand ja immer größer als Null ist.Und mathematisch gesprochen ist x->x2 auf IR+ eine bijektive Abbildung.
Eine anschaulichere Begründung dürfte folgende sein : Denk Dir mal wir hätten das Maximum gefunden. Kann es dann einen anderen Punkt geben,dessen Abstand ins Quadrat genommen größer ist,als der mAximale Abstand ins Quadrat ? Nein,denn wenn ich zwei größere Zahlen miteinander multipliziere kommt stets mehr heraus,als wenn ich zwei kleinere miteinander malnehme.Auch das kurz als Formel : a>b>0 => a2=a*a>a*b>b*b=b2
d'(x) gibt den Anstieg des Abstandes an.Wenn also d'(x)>0 ist,wird der Abstand durch Erhöhung von x größer,wenn d'(x)<0 wird er kleiner.
Gleichungen dritten Grades sind lösbar,aber nur mit Hilfe der cardanischen Formeln und auch hier nur unter Berücksichtigung von a und x0.Es wird also verschiedene Fälle geben,bei denen je nach Wahl von a und x0 verschiedene Lösungsformeln greifen.
Den Satz über die Normalen hab ich nicht richtig formuliert : Die Normalen sind immer senkrecht zu der Parabel,also sind die drei Normalen gerade die Verbindungslinie zwischen P und R.Aber das wird durch die Zeichnung vermutlich etwas leichter verständlich. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2000 - 21:28: |
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So ganz hab ich das mit dem Bild nicht hingekriegt,aber ich hoffe es hilf trotzdem.
Zunächst die Situation bei a=1/2:
Und nun bei a=2 und x0=1.Eine Situation in der man drei Normalen hat,die alle durch (1;2) verlaufen.
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Andre
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2000 - 22:17: |
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Ok, danke, ich denke ich habs jetzt verstanden! ;) |
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