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Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 15:16: | 
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Ich sitze schon seit Stunden an dieser Aufgabe:
Es ist eine Funktionenschar ft(x)= e -e hoch tx gegeben (für t>0). Das Schaubild von ft sei Kt. Die Tangente und die Normale im Schnittpunkt von Kt mit der y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für welche Kurve Kt wird die Länge dieser Strecke extremal? Handelt es sich um ein Minimum oder ein Maximum? Gib den Extremwert der Streckenlänge an.
Soweit bin ich: ft'(x)=-te hoch tx
Schnittpunkt mit der y-Achse: (O/(e-1))
Tangente: y = -tx + (e-1)
Normale: y = 1/t* x + (e-1)
Ich hoffe, das ist richtig. Wie geht es weiter?? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 16:45: |
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Hi Anonymus ,
Deine Gleichungen für dir Tangente g und die Normale n sind richti g.
Schneide jetzt die beiden Geraden mit der x -Achse, indem Du je y=o einsetzest.
Du bekommst die Schnittpunkte P1 (x1/ 0) mit g und P2 (x2/ 0) mit n, wobei x1 = (e -1)/ t , x2 = t*(1-e) gilt , dabei ist wegen t > 0 x1 stets positiv , x2 hingegen negativ. Um die Streckenlänge s von P1 P2 zu ermitteln, nehmen wir von x2 den absoluten Betrag t*(e-1).Somit erhalten wir s = s(t) =(e-1) / t + t (e-1) = ( e - 1) * ( t+1 / t).
Es genügt, die Funktion u(t) = t + 1 / t zu betrachten. Ihre Ableitungen sind: u '(t) = 1 -1/ t^2
und u '' (t) = 2 / t^3.
Einzige positive Nullstelle von u '(t) ist t = 1 . Da u '' (1) > 0 ist ,handelt es sich beim Extremum um ein Minimum.
Gruss: H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Februar, 2000 - 16:53: |
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Nachtrag: Die minimale Streckenlänge s* ist (setze t =1 in s(t) oben ein) :
s* =2*(e-1) |
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