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Cinderella (Cinderella)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 15:32: | 
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Hallo! Habe hier ein paar komische Aufgaben bekommen. Wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet!
Geben Sie jeweils die erste Ableitung an:
a.) f(x) = Wurzel aus (3x^2 + 5)
b.) f(x) = exp (-x^2)
c.) f(x) = -x^2 exp(x)
d.) f(x) = sin(1/x)
Eine kleine Bitte noch: Vielleicht könnt ihr mir erklären, was mit „exp” gemeint ist, das habe ich nämlich gar nicht verstanden!
Danke schon mal im Voraus!
Cindy |
ren
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 22:40: |
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Hallo Cindy,
Zunächst: alle Funktionen (außer c)) sind verkettete Funktionen, bei denen du erst die "äußere" Ableitung bilden und diese dann mit der "inneren" Ableitung multiplizieren musst (Kettenregel).
Zu a)
f(x) = Wurzel(3 x² + 5) = (3 x² + 5) 1/2
Die äußere Funktion ist u(x) = Wurzel(x) = x1/2, die innere Funktion ist v(x) = 3x² + 5 , f kannst du schreiben als f(x) = u(v(x)).
f'(x) = u'(v(x))*v'(x), also
f'(x) = 1/2 (3x² + 5)-1/2 * 6x
= 3x / Wurzel(3x² + 5)
Zu b)
Mit "exp" ist die natürliche Exponentialfunktion ex gemeint. Sie stimmt mit ihrer Ableitung überein, d.h. es ist auch (ex)' = ex . Bei der Funktion f(x) = e-x² musst du wieder die Kettenregel anwenden [ mit u(x) = ex und v(x) = -x²] :
f'(x) = e-x² * (-2x) = -2x e-x²
Zu c)
Hier hast du es nicht mit einer Verkettung, sondern mit einem Produkt von Funktionen zu tun, also ist die Produktregel angesagt:
f'(x) = -x² ex + (-2x) ex = ex (-x² - 2x)
Zu d)
(sin x)' = cos x ; (1/x)' = (x -1)' = (-1) x-2 = - 1 / x². Also:
f'(x) = cos (1/x) * (- 1 / x² ) = - cos (1/x) / x²
Gruß |
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