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Beitrag |
    
MCWiesel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 17:31: | 
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Hi!
Schreibe morgen Wichtige Mathe-Klausur und würde mich sehr freuen, wenn mir einer helfen könnte. Unser Lehrer sagte , wir sollen Strecke-Zeit-Diagramme in Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme umwandeln. Ich weiß nicht wie ich das machen soll.
Kann mir einer helfen? (Im Buch steht das Thema unter der Überschrift: Einführung in die Differentialrechnung / Die Ableitung an einer Stelle)
Außerdem sollen wir die Tangentensteigung und die Sekantensteigung lernen (im buch steht das unter der überschrift: definition der ableitung an einer stelle x0 (xnull) / Tangente an das Schaubild einer Funktion)
Kann mir auch hier einer helfen?
Danke im vorraus!!!
mfg
Daniel |
Andreas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 13:23: |
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Hi Wiesel!
Eine Strecke-Zeit-Funktion kann verschieden
aussehen, je nach Bewegungsart.
Bewegt man sich mit gleichbleibender
Geschwindigkeit (gleichförmig),
sieht sie so aus: s(t)=v*t
s(t) ist dabei die Strecke in Abhängigkeit von
der Zeit, t die Zeit und v die Geschwindigkeit.
Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung
sieht sie so aus: s(t)=1/2at²,
wobei a die Beschleunigung ist.
Egal wie auch immer das Strecke-Zeit-Gesetz
aussieht, es gilt immer, dass das
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz die Ableitung
des Strecke-Zeit-Gesetzes ist.
Beispiele:
s(t)=v*t ==> v(t)=v (konstant)
s(t)=1/2at² ==> v(t)=a*t
s(t)=2t²-5t ==> v(t)=4t-5
Die Tangente an eine Kurve ist stets eine Gerade.
Diese hat die Form y=mx+c,
mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt c.
Tangente und Kurve berühren sich in einem
bestimmten Punkt P(x0|y0)
Es muss folgendes gelten:
Die Steigung der Tangente (m) ist gleich
der Ableitung der Kurve im Berührpunkt P.
Beispiel:
f(x)=x², gesucht: Tangente im Punkt P(3|9)
Da y=mx+c Tangente in P sein soll, muss
P ein Punkt der Tangente sein. Also gilt:
I 9=m*3+c
Jetzt bilden wir die Ableitung im Punkt P
f(x)=x²
f'(x)=2x
f'(3)=2*3=6=m
Das erhaltene m setzen wir in I ein:
9=6*3+c
==> c=-9
Also heißt die gesuchte Tangente y=6x-9
Sekante:
Ich gehe davon aus, dass mit Sekante die Normale
gemeint ist.
Auch die Normale ist eine Gerade. Sie steht
rechtwinklig zur Tangente.
Für ihre Steigung m gilt: m=-1/f'(x0)
Beispiel: f(x)=x², gesucht: Normale in P(2|4)
P ist ein Punkt der Gerade, also:
I 4=m*2+c
Ableitung im Punkt P(2|4):
f'(x)=2x ==>f'(2)=4
m=-1/f'(2)=-1/4
Einsetzen von m in I:
4=-1/4*2+c
4=-1/2+c
==> c=4,5
Damit heißt die Normalengleichung:
y=-1/4*x+4,5
Ich hoffe, Ich konnte dir damit helfen.
Ciao, Andreas |
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