| Autor |
Beitrag |
    
Martin Luxenburger (Martindeluxe)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 21:34: | 
|
Hi sorry wenn ich letzterzeit viele Fragen stelle aber ich schreibe am Freitag eine Arbeit.
Also
Aufgabe: Prüfe nach, ob folgende Funktion umkehrbar ist ! Schränke wenn nötig den Definitionsbereich so ein, dass eine umkehrbare Funktion entsteht, und bestimme die Umkehrfunktion. ( Definitionsmenge jeweils angeben )
Hier sind 2 Aufgaben, ich wäre schon überglücklich wenn ihr mir eine ausrechnen würdet.
(2*x+1)^2 = f(x)
oder
(-x+4)^3 = f(x)
vielen Dank schon im Voraus |
Andreas
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 11:51: |
|
Hi Martin!
Damit eine Funktion f(x) umkehrbar ist,
muss folgendes gelten:
Die Funktion muss auf ihrem gesamten
Definitionsbereich streng monoton verlaufen.
Entweder streng monoton fallend oder steigend.
Anschaulich lässt sich das so begründen:
Jedem x-Wert ist ein bestimmter y-Wert nach
einer bestimmten Vorschrift zugeordnet.
Zum Beispiel:
f(x)=2x
zu x=1 gehört y=2, zu x=5 gehört y=10 usw.
zu jedem x-Wert gehört ein bestimmter y-Wert,
umgekehrt zu jedem y-Wert ein bestimmter x-Wert.
f(x)=x²
Hier ist das anders.
Es gilt z.B.: f(2)=f(-2)=4
Zwar hat immer noch jeder x-Wert einen
y-Wert zugeordnet,
jedoch gehören zu jedem y-Wert zwei x-Werte
zu y=4 gehören x=2 und x=-2
Daher wäre diese Funktion, zumindest nicht auf
ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar.
f(x)=x² besteht jedoch aus zwei Teilintervallen.
Für x<0 ist sie streng monoton fallend,
für x>0 streng monoton fallend.
Diese Funktion wäre also auf einem ihrer
Teilintervalle umkehrbar, aber nicht auf
ihrem gesmaten Definitionsbereich.
Um zu prüfen ob eine Funktion umkehrbar ist,
bilde ich ihre Ableitung.
Bei deinem ersten Beispiel ginge das so:
f(x)=(2x+1)²
Mit der Kettenregel erhält man:
f'(x)=4*(2x+1)=8x+4
Die Ableitung ist >0 für x>-0,5
und <0 für x<-0,5
Die Funktion ist somit nicht umkehrbar.
Ich kann mir jedoch das Teilintervall x>-0,5
herausnehmen und dieses umkehren:
y=(2x+1)² D=x>-0,5
auflösen nach x:
Wurzel(y)=2x+1
Wurzel(y)-1=2x
x=0,5*(Wurzel(y)-1)
Nun vertausche ich die Variablen x und y:
y=0,5*(Wurzel(x)-1)
Das ist die Umkehrfunktion von f(x)=(2x+1)² mit D=x>-0,5
Deine zweite Funktion geht entsprechend
Ciao, Andreas |
|
