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Beitrag |
    
Alexander D
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 18:49: | 
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Hallo,
kann mir einer beweisen, dass
Summe, i von 0 bis n
von:
(i über n + i)*1/2^(i)
=2^n???
Danke, |
Alexander D
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 20:55: |
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Also nochmals, weil ich merke, dass dies etwas zweideutig ist:
siehe http://www.geocities.com/multum.geo/summe.gif |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 17:12: |
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anstelle von i schreibe ich lieber m.
Sm=0n ( m+n m ) / 2m = 2n
Induktionsanfang: stimmt (ohne Beweis)
Linke Seite mit n+1 anstelle von n:
L = Sm=0n+1 ( m+n+1 m ) / 2m
Abspaltung des Summanden für m=n+1:
L = Sm=0n ( m+n+1 m ) / 2m + ( n+1+n+1 n+1 ) / 2n+1
Additionssatz für Bin.-koeff.: ( m+n+1 m ) = ( m+n m ) + ( m+n m-1 )
L = Sm=0n ( m+n m ) / 2m + Sm=0n ( m+n m-1 ) / 2m + ( 2n+2 n+1 ) / 2n+1
nach Ind.-Vorauss.: Sm=0n ( m+n m ) / 2m = 2n
Erstes Glied der zweiten Summe (blau) ist gleich Null, da m-1 für m=0 negativ ist ("a über b" mit b<0 ist gleich Null), also summiere von m=1 an:
L = 2n + Sm=1m=n ( m+n m-1 ) / 2m + ( 2n+2 n+1 ) / 2n+1
Indextausch: setze m=j+1
L = 2n + Sj+1=1j+1=n ( j+1+n j+1-1 ) / 2j+1 + ( 2n+2 n+1 ) / 2n+1
L = 2n + Sj=0j=n-1 ( j+1+n j ) / 2j+1 + ( 2n+2 n+1 ) / 2n+1
ergänze die Summe um die zwei Glieder für j=n und j=n+1 und ziehe diese ergänzten Glieder wieder ab:
L = 2n + Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j+1 - ( n+1+n n ) / 2n+1 - ( n+1+1+n n+1 ) / 2n+1+1 + ( 2n+2 n+1 ) / 2n+1
L = 2n + Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j+1 - ( 2n+1 n ) / 2n+1 - ½ ( 2n+2 n+1 ) / 2n+1 + ( 2n+2 n+1 ) / 2n+1
L = 2n + ½Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j - ( 2n+1 n ) / 2n+1 + ( 2n+2 n+1 ) ( 1- ½ ) /2n+1
L war Abkürzung für Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j, schreibe wieder ausführlich:
Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j = 2n + ½Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j - ( 2n+1 n ) / 2n+1 + ½ ( 2n+2 n+1 ) /2n+1
...| -½Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j
½Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j = 2n - ( 2n+1 n ) / 2n+1 + ( 2n+2 n+1 ) ½ /2n+1 |*2
Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j = 2*2n - ( 2n+1 n ) / 2n + ( 2n+2 n+1 )/2n+1
Bleibt noch zu zeigen, dass - ( 2n+1 n ) / 2n + ( 2n+2 n+1 )/2n+1 = 0 ist:
( 2n+2 n+1 )/2n+1 = ( 2n+1 n ) / 2n |*2n+1
( 2n+2 n+1 ) = 2*( 2n+1 n )
(2n+2)! / (n+1)!² = 2* (2n+1)! / ( (n+1)! * n! ) | *(n+1)!²
(2n+2)! = 2*(2n+1)! * (n+1)! / n!
(2n+2)*(2n+1)! = 2*(2n+1)! * (n+1)! / n! | : (2n+1)!
(2n+2) = 2*(n+1)*n!/n! | wahr
Also wurde gefolgert: wenn die Aussage Sm=0n ( m+n m ) / 2m = 2n gilt, dann gilt auch:
Sj=0j=n+1 ( j+1+n j ) / 2j = 2*2n =>
Sm=0m=n+1 ( m+1+n m ) / 2m = 2n+1 |
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