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Bizzel
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 00:05: |
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Hallo, Wie beweist oder widerlegt man die Behauptung: Für ungerade Zahlen k>2 ist nk-n für alle natürlichen Zahlen n durch 6 teilbar. (Anm.: Für spezielle Werte k= 3, 5, 7, 9 und 11 ist mir klar, wie man die Teilbarkeit nachprüft; ist es auch leicht möglich, dies für alle ungeraden Exponenten k allgemein zu beweisen?) Noch was: Es ist nicht dringend. |
Armin Heise (Armin)
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 20:15: |
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n^k-n=n*(n^(k-1)-1) da k ungerade ist, ist k-1 gerade, d.h. es existiert eine natürliche Zahl l mit k-1=2l, d.h n^k-n=n*(n^2l-1) =3.binomische Formel n*(n^l-1)*(n^l+1) vielleicht kommt man hiermit weiter |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 20:59: |
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Hi Bizzel, z = n ^ k - n ist für alle natürlichen Zahlen n und ungerade k durch 6 teilbar. Um dies einzusehen, setzen wir k = 2 * m + 1 (m ist eine beliebige natürliche Zahl) und. formen um: z = n * [n ^ ( k -1 ) - 1] = n * [ n ^ ( 2 m ) -1 ] ,also: z = n * ( n ^ m - 1 ) * ( n ^ m + 1 )............................(I) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Wir gehen auf die Suche nach Teilern 2 und 3 von z. A} Teiler 2 °°°°°°°°°°°° a) Für ein gerades n ist der erste Faktor , eben n , gerade; daher ist z durch 2 teilbar. b) Für ein ungerades n sind der zweite Faktor n^m -1 und der dritte Faktor n ^ m + 1 je gerade ,mithin ist auch jetzt z durch 2 teilbar. B] Teiler 3 °°°°°°°°°°°° a) Ist n durch 3 teilbar, so ist damit auch z durch drei teilbar. b) Hat n die Form 3 t + 1 ,so ist der zweite Faktor durch drei teilbar ,weil im Term [(3 t + 1 ) ^ m - 1] bei der Entwicklung nach dem binomischen Satz die 1 sich weghebt und nur Summanden mit dem Faktor 3 übrig bleiben. c) Für n = 3 t - 1 ist der zweite oder dritte Faktor durch 3 teilbar , je nachdem m gerade oder ungerade ist. In allen Fällen ist mindestens einer der Faktoren und damit z selbst durch drei teilbar. Summa: z ist durch 2*3 = 6 teilbar Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. ( |
Bizzel
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 16:56: |
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Hallo H.R.Moser,megamath., vielen Dank für diese vorbildliche und ausführliche Erklärung des Beweises. Auch an Armin Heise vielen Dank für den Hinweis. |
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