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Beitrag |
    
Bizzel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 00:03: | 
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Hallo,
Gilt die Behauptung:
Für natürliche Zahlen n und alle Primzahlen p lässt sich
np-n in genau zwei Faktoren zerlegen, die natürliche Zahlen >1 sind, und zwar in die beiden eingeklammerten:
(n-1) * (Si=0p-1 ni)
und wenn ja, wie beweist man sie? |
Bizzel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 14:28: |
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Oh nein, hier bin ich gleich mehrmals durcheinandergekommen.
Meine Behauptung ist fehlerhaft, und ich habe mich unklar ausgedrückt.
Ich bitte um Entschuldigung.
Ich möchte nicht zeigen, dass der Term in zwei Faktoren zerlegt, wird, die natürliche Zahlen sind, sondern allgemein in drei Polynome der Variablen x, ohne auf die Faktorzerlegung von xp -x im konkreten Fall einzugehen.
richtig muss sie heißen:
Für alle Primzahlen p lässt sich das Polynom
xp+1 -x in genau 3 Polynome zerlegen, und zwar in:
x * (x-1) * (Si=0p-1 xi)
(siehe unten Nr. 1)
Oder wegen xp+1 -x = x*(xp -1) nimmt man es so, dass zu zeigen ist:
Für alle Primzahlen p lässt sich das Polynom
xp -1 in genau zwei Faktoren zerlegen, die Polynome ungleich 1 sind, und zwar in die beiden eingeklammerten:
xp -1 = (x-1) * (Si=0p-1 xi)
(siehe unten Nr. 2)
Wie ich darauf gekommen bin:
Beim Faktorisieren von nm -1 für alle natürlichen Zahlen m habe ich bemerkt, dass
für m=2k mit natürlichen Zahlen k und für m=p mit Primzahlen p auffällige Faktorisierungen entstehen:
Beispiel 1: m=2k
n^(2k) -1 = (n-1) * Pi=1 k (n^(2i-1)+1)
also z.B. ist
für k=1: n2 - 1 = (n-1) * (n+1)
für k=2: n4 -1 = (n-1) * (n+1) * (n2 +1)
für k=3: n8 -1 = (n-1) * (n+1) * (n2 +1) * (n4 +1)
für k=4: n16 -1 = (n-1) * (n+1) * (n2 +1) * (n4 +1) * (n8 +1)
usw.
Beispiel 2: m=p, p Primzahl
n2 - 1 = (n-1) * (1 + n)
n3 - 1 = (n-1) * (1 + n + n2)
n5 - 1 = (n-1) * (1 + n + n2 + n3 + n4 )
n7 - 1 = (n-1) * (1 + n + n2 + n3 + n4 + n5 + n6)
n11 -1 = (n-1) * (1 + n + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 + n9 + n10)
usw.
np - 1 lässt sich zwar für alle Exponenten m € IN in Polynome zerlegen,
die aus den Faktoren (n-1) und Si=0p-1 ni bestehen, da es der Summenformel für die geometrische Reihe entspringt, jedoch sind diejenigen
Faktoren, für die die Summe von i=0 bis i=p-1 mit p als Primzahl läuft, nicht weiter
faktorisierbar, im Gegensatz zu m=9 zum Beispiel:
n9 -1 = (n-1) * (n8 + n7 + n6 + n5 + n4 + n3 +n2 + n + 1),
denn (n8 + n7 + n6 + n5 + n4 + n3 +n2 + n + 1) lässt sich noch weiter zerlegen in
(n2 + n + 1) * (n6 + n3 + 1), während die Summe
Si=0p-1 ni
nicht weiter faktorisierbar ist.
(siehe unten Nr. 3)
Also bleibt jetzt die Möglichkeit, mir eine der drei Behauptungen zu beweisen:
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Entweder
1)
Für alle Primzahlen p lässt sich das Polynom in der Variablen x
xp+1 -x in genau 3 Polynome zerlegen, und zwar in:
x * (x-1) * (Si=0p-1 xi)
oder
2)
Für alle Primzahlen p lässt sich das Polynom
xp -1 in genau 2 Polynome zerlegen, und zwar in die beiden eingeklammerten:
xp -1 = (x-1) * (Si=0p-1 xi)
oder
3)
Das Polynom Si=0p-1 xi ist nicht weiter faktorisierbar, wenn p eine Primzahl ist.
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Ich denke, 3) sieht am unkompliziertesten aus, nur das hat eventuell den Nachteil, dass damit
weniger gut ein direkter Bezug zu meiner Frage auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/21113.html hergestellt werden kann, als es vielleicht mit Behauptung 1) geht.
Ich hoffe, meine Fragen jetzt ohne Fehler formuliert zu haben.
Ach ja: es ist nicht dringend. |
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