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Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 15:38: | 
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Ich denk mal, dass das hier her gehört weil wir gerade Differentialrechnung machen und ich ein Problem hab :
Die Aufgabe lautet : Unter welchem Winkel schneidet der Kegelschnitt die Gerade :
a) x^2+^4y^2=100 und x+2y+2=0
b) 2y=3x^2 und 2y-5x-2=0
Was muss ich denn da machen ?! Normalerweiße muss ich erst den Schnittpunkt durch Gleichsetzen ausrechnen oder ?! Aber wie geht das mit dne Hochzahlen ?
Danke ! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 21:26: |
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Hi Anonimus,
Zuerst folgen einige Vorbemerkungen:
1. Um die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kegelschnitt zu finden, löst man die Geradengleichung , welche eine lineare Gleichung ist , nach einer der beiden Variablen x oder y auf und setzt den Term in die Kegelschnittgleichung ein . So erhält man eine quadratische Gleichung für die andere Variable.;die Lösungen sind entweder die
x- oder y - Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden mit dem Kegelschnitt
2 Der Schnittwinkel zweier Kurven ist definiert als Winkel der Tangenten in einem
Schnittpunkt S der Kurven . In unserem Fall ist eine der Kurven die gegebene Gerade ,
deren Steigung mit M bezeichnet werde. Kennen wir noch die Steigung m der Kurve
im Schnittpunkt S , so erhalten wir den Schnittwinkel w z.B. mit der Formel
tan w = ( M -m ) / ( 1 + M * m)
3. Die Steigung m für den Kegelschnitt findet man aus der Ableitung der Kegelschnittgleichung oder - sofern Kenntnisse in dieser Richtung vorhanden sind-
aus der sogenannten Polarform der Kegelschnittgleichung.
Ausführung :
Zu a) x = - 2y -2 (Geradengleichung) wird in die Ellipsengleichung eingesetzt ; wir erhalten die quadratische Gleichung für y :
y^2 + y - 12 = 0 mit den Lösungen y = 3 und y = - 4 .Die zugehörigen x-Werte sind -8 und 6 , sodass sich die Schnittpunkte P1 (- 8 / 3 ) und P2 (6 / - 4 ) ergeben.. Als Steigung M der Geraden entnehmen wir aus ihrer Gleichung den Wert M = - ½.
Die Steigung m der Ellipse ergibt sich durch sogenanntes implizites Differenzieren. Das geht so
Man leitet beide Seiten der Ellipsengleichung nach x ab. Da die rechte Seite eine Konstante ist , entsteht rechts eine null; die Ableitung von y^2 auf der linken Seite ergibt wegen der Kettenregel 2*y * y ' (Ableitung 2*y von y ^2 mal Ableitung y ' der Basis y)
Somit kommt die Beziehung: 2 x + 8 * y * y' = 0 , da mit gilt für die Ellipse :
y ' = - x / ( 4* y )
Schnittwinkel w1 in P1 : durch Einsetzen von x = -8 , y = 3 in die Gleichung für y' : m = 2/3
Somit gemäss obenstehender Formel : tan w1 = (2/3+1/2) / ( 1 - 2/3*1/2) = 7 /4 , daraus w1 = 60.26° (Näherungswert).
Schnittwinkel w2 in P2 ; wir erhalten analog : m = 3/8 und tan w2 = (3/8 + ½) / ( 1 - 3/8*1/2) = 14 / 13 , also w2 = 47.12° (Näherungswert)
Fortsetzung : Demnächst in diesem Forum
Inzwischen
Gruss H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 22:08: |
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Hi Anonimus,
Fortsetzung des Lösungsganges
Bei Deiner Teilaufgabe b) handelt es sich um die Parabel y = 1.5 * x^2. Ihre Schnittpunkte mit der Geraden sind - das wirst Du mit Leichtigkeit verifizieren - P1 ( 2 / 6 ) und P2 ( - 1/3 / 1 / 6 ) .
Die Steigung M der Geraden ist M = 5 / 2 ..Die Steigung der Parabeltangente ergibt sich diesmal ganz leicht durch Differenzieren : y ' = m = 3 x . Somit:
in P1 m1 = 6 , in P2 m2 = - 1; das ergibt die folgenden Tangenswerte der Schnittwinkel
tan w1 = (6 - 5/2) / ( 1 + 6 * 5/2) = 7 / 32, daraus w1 = 12. 34°,
tan w2 = (5/2 +1)/ (1 - 5/2 * 1) = - 7/3 , daraus w2 = 113,20° oder als spitzer Winkel : 66.80°
Ende und Gruss
H.R. |
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