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Nadine
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 13:10: | 
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Könnte mir jemand helfen, die Theorie eines Gleichungssystems zu erklären?
Danach müsste ich das dann noch am Beispiel:
g:x=(a/-1/0) + r* (b/1/3)
h:x=(1/2/1) + s* (2/c/-1)
durchrechnen.
Hab aber leider keine Ahnung wie das klappen könnte.
DANKE |
reinhard
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 13:59: |
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Hallo!
Hast du eine Gleichung 2x = 6, dann kannst du das x leicht ausrechnen.
Die Gleichung 2x + 3y = 8, da tust du dir sicher hart. Nicht aber, wenn du auch eine 2. Gelichung hast: 4x - y = 2
Du hast also das Gleichungssystem
2x + 3y = 8
4x - y = 2
Man kann eine Gleichung multiplizieren mit was man will, es bleibt eine Gleichung, und wenn du zwei Geleichungen zusammenzählst, kommt wieder eine Gleichung raus.
Ziel ist es, eine der zwei Variablen wegzubringen. Das x zum Beispiel. Wenn man die 1. Gleichung mit -2 multipliziert, dann steht da -4x. Und wenn du das zur 2. Gleichung addierst, dann fällst das x weg.
-4x - 6y = -16
4x - y = 2
Addiere die Gelichungen:
-4x - 6y + 4x - y = -16 + 2
-7y = -14
und diese gleichung kannst du dann lösen.
Bei Geleichungssystemen mußt du immer versuchen, eine Variable verschwinden zu lassen, indem du 2 Geleichungen zusammenfaßt.
Hast du zu deinem Beispiel auch eine Aufgabenstellung, wie zB "Schneide g und h" oder "für welche a,b,c haben g und h einen Schnittpunkt" oder ähnliches?
Reinhard |
N
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 19:01: |
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Schonmal vielen Dank!
Es soll entweder g parallel zu h sein,
g=h,g windschief zu h oder g schneidet h.
Weisst Du auch was homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme sind? |
reinhard
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 01:05: |
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Hallo N
g parallel zu h heißt, die Richtungsvektoren sind linear abhängig (der eine ist ein vielfaches vom anderen). (b/1/3) soll also ein vielfaches von (2/c/-1) sein.
(b/1/3) = t(2/c/-1)
du bekommst das Geleichungssystem mit 1 Unbekannten und 3 Gleichungen
b = 2t
1 = tc
3 = -t
löse die dritte Gleichung: t = -3. also sind b=-6 und c=-1/3
Von a hängt nun ab, ob g und h parallel oder ident sind. Liegt (a/-1/0) auf der Geraden h, dann sind sie ident, sonst nicht.
(a/-1/0)=(1/2/1)+s*( 2 / -1/3 / -1 ) c haben wir schon berechnet
a = 1 + 2s
-1 = 2 - s/3
0 = 1 -s
aus der dritten Geleichung folgt: s=1, aus der zweiten s=9. Da ein s gesucht ist, das für alle drei Geleichungen gleichzeitig gilt, haben wir einen widerspruch. Es gibt also keine Lösung für dieses Gleichungssystem (s kann nicht 1 und 9 sein). (a/-1/0) kann foglich nie ein Punkt von h sein und daraus folgt, daß g und h höchstens parallel, nie aber ident sein können.
sind entweder b nicht -6 oder c nicht -1/3, dann sind h und g etweder windschief, oder sie schneiden sich. Wieder hängt das von a ab. Versuche, beide zu schneiden.
(a/-1/0) + r* (b/1/3) = (1/2/1) + s* (2/c/-1)
daraus folgt das Geleichungssystem
a + rb = 1 + 2s
-1 + r = 2 + sc
0 + 3r = 1 - s
Die Variablen sind in unserem Fall r und s (a,b und c sind Konstanten!) Wir berechnen aus den unteren 2 Gleichungen das r und s (für 2 Variablen genügen auch 2 Gleichungen).
-1 + r = 2 + sc
3r = 1 - s
multipliziere die 1. mit -3 und addiere beide
3 - 3r + 3r = -6 -3sc + 1 -s
3 = -5 -3sc -s
8 = s(-3c-1)
-8/(3c+1) = s
dieses s in der 2. Gleichung eingesetzt:
3r = 1 + 8/(3c+1)
3r = (3c+1)/(3c+1) + 8/(3c+1) = (3c+9)/(3c+1)
r = (c+3)/(3c+1)
Setze nun diese r und s in die 1. Gleichung ein, um das a berechnen zu können:
a + rb = 1 + 2s
a + (cb + 3b)/(3c+1) = 1 - 16/(3c+1)
a = (3c+1)/(3c+1) - 16/(3c+1) - (cb+3b)/(3c+1)
a = (3c - 15 - cb + 3b)/(3c+1)
Das ist die Formel, die a erfüllen müßte, damit das Gleichungssystem eine Lösung hat, was geometrisch bedeutet, daß g und h sich schneiden. Läßt sich das a also durch diese Fomel aus b und c berechnen, dann haben g und h einen Schnittpunkt, ansonsten sind g und h windschief.
Was die Homogenität betrifft:
Wenn du in einem Gleichungssystem jede einzelne Gleichung so anschreibst, daß alle Terme mit Variablen auf er linken und alle Terme ohne Variablen auf der rechten Seite steht, dann gilt folgendes: Bestehen alle rechten Teile der Gleichungen nur aus Nullen, dann ist das Gleichungssystem homogen, ansonsten inhomogen.
Beispiele:
2x + 3y = 0
4x - y = 0
ist homogen, weil rechts nur Nullen sind.
5a - 3b + 2z = 0
6a + 2b - z = 1
7a + z = 3
ist inhomogen, weil rechts Zahlen ungleich Null stehen. etc.
Reinhard |
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