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Roberto
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 15:07: | 
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Begründe oder widerlege die Formulierung:
Jeder absolute Hochpunkt ist auch ein relativer Hochpunkt
Dazu würde ich sagen:
Ja, denn wenn z.B. für einen absoluten Hochpunkt bei x=a gilt:
f(x) < f(a) für alle x aus Umgebung von a, und die Umgebung besteht in diesem Fall z.B. nur aus x mit x < a, weil a < x nicht mehr zum Defintionsbereich gehört, dann erfüllt dieses absolute Maximum auch alle Anforderungen, die an ein relatives Maximum gestellt werden. Oder nicht? |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 17:05: |
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Hallo Roberto!
So wie ich das sehe ist diese Formulierung genau richtig. Allerdings ist der Punkt, daß a < x nicht mehr in den Def.bereich etwas unklar ausgedrückt. Du solltest es einfach begründen damit, daß es ja, da es ein absolutes Maximum ist, keinen höheren "Punkt" geben kann.
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 18:48: |
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Hallo Roberto und Ralph!
Ich weiß natürlich, dass die Antwort auf die Frage von der genauen Definition eines relativen Hochpunkts abhängt.
Ich habe aber mal folgendes gelesen:
Eine relativer Extremstelle kann niemals am Rand eines Definitionsbereich sein. Anders formuliert: Eine absoluter Extremstelle, die auf einem offenen Intervall liegt, die also sowohl links als auch rechts von ihr noch Funktionswerte hat, wäre demnach auch eine relative Extremstelle;
Beispiel: f(x)=x mit 0<=x<=1
Diese Funktion (eine einfache gerade Strecke von (0|0) nach (1|1)) hat also einen absoluten Tiefpunkt bei (0|0) und einen absoluten Hochpunkt bei (1|1).
Sie besitzt aber keine relativen Extremstellen, weil sowhl 0 als auch 1 am Rand des Def.Bereichs liegen.
So hab ich das mal irgendwo gelesen...
Is aber wohl Definitionssache.
Ciao
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 20:11: |
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Hallo allerseits,
Eine Definition "Eine relativer Extremstelle kann niemals am Rand eines Definitionsbereich sein.", halte ich für wenig sinnvoll.
In "Heuser, Lehrbuch der Analysis" steht:
Ein globales Extremum ist natürlich erst recht auch ein lokales Extremum.
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Gruß, Fern |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 21:37: |
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Hi Fern!
Ich wollte nur noch mal sagen, wo ich das gefunden habe und das es manchmal durchaus Sinn machen kann, eine Definition einzuführen, in der relative nicht unbeingt absolute Extremstellen sein müssen (auch wenn das zuerst ziemlich bescheurt klingt):
Also, es ist ein -zugegeben amerikanisches- Buch:
Vorne steht drauf: "STEWART - CALCULUS -EARLY TRANSCENDENTALS" (irgendwas davon ist der Titel von dem Buch)
(1) DEFINITION:
A function has an absolute maximum at c if f(c)>=f(x) for all x in D, where D is the domain of f.
Da können wir wohl noch alle zustimmen.
(2) DEFINITION:
A funtion f has a local maximum at c if there is an open interval containing c such that f(c)>=f(x) for all x in I.
Aus dieser Definition in diesem Buch folgt dann ziemlich direkt, dass ein lokales Maximum nie am Rand liegen kann, weil es dann kein offenes Intervall geben kann, das diese Extremstelle enthält.
Der "Knackpunkt" bei dieser Definition aus diesem Buch ist also die Geschichte mit dem OFFENEN Intervall. Für sinnvoll halte ich diese Definition deshalb, weil mir momentan nicht einfällt, wie man ein lokales Extremum sonst am Besten definiert, denn wenn man einfach das Wort "open" durch "closed" ersetzen würde, dann kommt zu dem Ergebnis, dass die Funktion f(x)=x an jeder beliebigen Stelle X0 einen lokalen Hochpunkt besitzt, wenn man das Intervall [X0-1 , X0 ] betrachten würde...
Wie ist denn im "Heuser" ein lokaler Extremum definiert?
Ciao
Cosine |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 21:50: |
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Hallo Cosine!
Wenn ich mir deine Ausführung richtig betrachte, setzt man einfach den Intervall eines lokalen Maximums, wenn man beweisen will, daß es auch das absolute ist, auf D.
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:13: |
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Hi Ralph!
D muss kein Intervall sein!!!
Und erstrecht kein "offenes" Intervall.
Unter einem "offenen" Intervall ]a,b[ verstehe ich die Menge aller x aus IR mit
a<x<b
Unter einem "abgeschlossenen" Intervall [a,b] verstehe ich die Menge aller x aus IR mit
a <= x <= b
Wenn
Beispiel: Die Funktion f(x)=x für x aus [0, 1]
ist auf einem abgeschlossenen Intervall definiert und besitzt auf diesem Intervall auch zwei absolute Extremstellen, nämlich einen Tiefunkt bei (0|0) und einen Hochpunkt bei (1|1).
Aber weder 0 noch 1 sind lokale Extremstellen, weil man kein OFFENES Intervall angeben kann, das 0 oder 1 enthält.
Es bleibt meine Frage: Wie genau ist ein lokales Extremum in einem Deutschen Lehrbuch definiert? Ich habe nämlich im Moment nur dieses amerikanische hier zur Hand...
Ciao
Cosine |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:21: |
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Hallo Cosine!
http://www.math.uni-rostock.de/~strauss/Bau/Vorlesung2001.pdf
sollte unsere Fragen klären. Such mal nach Extremstelle in diesem Dokument.
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:41: |
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Danke für die Datei... Ich habe nur gerade festgestellt, dass ich den doofen Acrobat Reader im Moment nicht installiert habe und downloade den jetzt gerade. Sobald ich das Ding installiert habe, schaue ich mir das Dokument an.
Kleine Frage vorweg: Ist bei den absoluten Extremwerten auch nur das > Zeichen gesetzt und kein >= Zeichen?
Ich frage, weil dann nämlich plötzlich andere Sätze nicht mehr gelten würden, wie z.B. dass eine Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, immer mindestens einen Extrempunkt besitzt. Was wäre dann mit f(x)=C ? Das hätte dann keinen Extrempunkt?
Selbst langsam ziemlich verwirrt,
Ciao
Cosine |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:51: |
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Nein, dort geht man auch von der Def. mit <= aus. Aber wichtiger ist, daß dort der Satz gelten soll, daß man einfach den Intervall auf D erweitern können muss, um aus einem lokalen ein absolutes Extremum zu machen.
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:56: |
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Wird dort erwähnt, ob es abgeschlossene oder offene Intervalle sind?
Zwischenstand: Acrobat Reader Download bei 88% |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 23:03: |
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Wenn ich mich recht erinnere, nein.
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 23:13: |
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Hi Ralph!
Der Acrobat-Download ist vorbei und das PRogramm ist installiert und eine erste Durchsuchung des Dokuments nach dem Begriff "Extremstelle" bringt zu foldener Textstelle:
5.6.2 Lokale oder relative Extremwerte
Definition 5.3 Sei f auf dem Intervall(a,b) definiert. Eine Stelle x0 aus (a,b) heißt relative Maximalstelle von f, wenn es eine Umgebung U von x0 gibt, u.s.w.
Der erste Satz war also "Sei f auf dem Intervall (a,b) definiert".
(a,b) ist eindeutig ein offenes Intervall. Abgeschlossene Intervalle werden gewöhnlich mit [a,b] bezeichnet.
=> Daraus folgt: In diesem Text werden Extremstellen nur für Funktionen definiert, die auf offenen Intervallen (a,b) definiert sind.
Also kann ein Randpunkt keine Extremstelle sein, weil offene Intervalle keine Randpunkte besitzen.
Also müsste ich mit meinen Behauptungen doch Recht haben und die Definition in diesem Dokument ist auch meiner Meinung, oder? |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 23:23: |
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Hi Cosine!
Ja, ich denke, daß das deine Meinung unterstreicht.
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 23:35: |
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Hi Ralph!
Freut mich, dass Du in dieser Hinsicht meiner Meinung bist!
Normalerweise bin ich übrigens nicht so rechthaberisch, aber ich war mir doch relativ sicher, Recht zu haben...
Ich bin mal gespannt, was Fern zu diesem Thema sagt, wenn er das nächste Mal hier vorbei kommt... Ich meine, die genaue Definition im "Heuser, Lehrbuch der Analysis" steht ja noch aus...
Also dann, ich schlaf gleich ein! Gute Nacht und danke für die "Vorlesung2001.pdf"-Datei. Die sieht interessant aus...
Es war schön mit Dir zu diskutieren! :-)
Ciao
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 10:27: |
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Hallo Cosine und Ralph,
Tut mir leid, dass ich eure Übereinstimmung nicht teilen kann.
Die zitierte pdf-Datei definiert tatsächlich Extrema nur für Funktionen, die auf einem offenen Intervall definiert sind.
Dies ist völlig richtig aber unvollständig!
Es schließt nicht aus, dass es auch Extremstellen bei Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall gibt.
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Im gleichen Dokument wird auch der Satz von Weierstraß zitiert:
Jede auf [a,b] stetige Funktion hat dort ein Minimum und ein Maximum
Auf die (stetige) Funktion f(x)=x auf dem Intervall [a,b] angewandt, ergibt dies eindeutig Extrema für die Randpunkte! Zugegebenermaßen, geht daraus nicht hervor ob es lokale oder globale Extrema sind.
In der pdf-Datei sind ja auch globale Extrema nur für Funktionen auf offenen Intervallen definiert.
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PS.: an Cosine:
Betrachte bitte mal die Funktion f(x) = x² auf dem Intervall [-3, 2].
Nach deiner Auffassung hat diese Funktion für x=2 weder ein globales noch ein lokales Maximum!
(Meiner Meinung nach liegt bei x=2 ein lokales Maximum)
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Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 11:13: |
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Hallo Fern,
Okay, dass globale Extrema in diesem Dokument auch nur für Funktionen auf offenen Intervallen definiert sind, habe ich nicht bemerkt...
Ich hätte jetzt -vor dieser ganzen Diskussino- immer gedacht, dass sich dieser Satz von Weierstrass auf "globale" Extremstellen bezieht, und dass die Funktion f(x) = x² auf dem Intervall [-3, 2]
kein lokales Maximum, aber sehr wohl ein globales Maximum bei x=-3 hat.
Aber langsam beginne ich selbst zu zweifeln, ob ich diese Auffassung aus meinem Calculus-Buch überhaupt reauslesen kann. Ich habe immer vorausgesetzt, dass das Intervall selbstverständlich auch zum Def.Bereich gehört...
Okay, okay... Das klingt jetzt alles ziemlich einleuchtend...
Ich gebe mich geschlagen... vorerst...
Moment... Ein letzter verzweifelter Versuch, meine Theorie zu retten: Ist die Funktion f mit
f(x) = x² auf dem Intervall [-3, 2]
eigentlich differenzierbar an den Stellen -3 und +2 ?
Ich frage, weil: Falls ja, gibt das doch dann Probleme mit dem Satz, dass die 1.Ableitung an loklane Extremstellen entweder 0 oder nicht definiert ist, oder?
Ciao
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 14:19: |
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Hallo Cosine,
Du brauchst dich nicht geschlagen fühlen. Viele Mathematiker scheinen sich in Bezug auf dieses Thema ebenfalls nicht im Klaren zu sein.
In der amerikanischen Literatur spricht man von Endpunktmaxima und Endpunktminima (endpoint extrema). Diese können gleichzeitig auch globale Extrema sein, werden aber nicht als lokale Extrema bezeichnet.
Meine Erkenntnisse stammen übrigens auch nicht von mir sondern beruhen auf dem, was andere (Gescheitere) für mich durchgedacht haben!
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Die Funktion f(x)=x² auf dem Intervall [-3,2] hat an der Stellen -3 ein globales Maximum; bei x0 = 0 ein lokales Minimum, das gleichzeitig globales Minimum ist und an der Stelle x0 = 2 ein lokales Maximum (für die Amerikaner ein Endpunktmaximum).
Die Funktion f(x)=x² auf dem Intervall [-3,2] einseitig differenzierbar. Man spricht vom linksseitigen und rechtsseitigen Differenzialquotienten.
Der Satz mit dem f'(x) = 0 bezieht sich nur auf innere Punkte eines Intervalls.
Aus einem anderen Buch:
Für jede lokale Extremstelle x0 einer differenzierbaren Funktion f auf einem Intervall I gilt
(a) f'(x0) = 0
oder:
(b) x0 ist ein Randpunkt von I.
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Gruß, Fern |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 16:11: |
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Hallo Fern!
Dankeschön! Jetzt macht das alles irgendwie wieder Sinn...
Ciao
Cosine |
Roberto
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 00:47: |
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Für mich ist leider noch nicht viel Sinn da.
Hier bin ich nicht mehr mitgekommen.
Ich weiß nicht, was jetzt Überlegung von Definitionen ausgehend ist und was bloß Buchzitate sind.
Aber danke für eure bisherige Mühe! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 18:05: |
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Hi Roberto!
Es geistern hier zwei unterschiedliche Definitionen herum. Nach der einen wäre die Aussage falsch, nach der anderen wäre sie richtig.
Ich vermute aber, nachdem was ich jetzt dazugelernt habe, dass hier in Deutschland normalerweise die Definition gebräuchlich ist, die Fern angeführt hat, und nach der wäre JEDER relativer auch ein absoluter.
Und Deiner allerersten Erklärung braucht man eigentlich dann nicht mehr viel hinzuzufügen. Nur solltest Du > durch >= ersetzen.
Wenn f auf D definiert ist und bei x=a einen absoluten Hochpunkt hat, dann gilt für alle x aus D, dass f(x)<=f(a) für alle x aus D.
Und wenn f(x)<=f(a) für alle x auf D gilt, dann gilt das erstrecht auch für alle x in der Umgebung von a, da man hierzulande mit Umgebung nur Punkte aus der Umgebung von a meint, die auch gleichzeitig in D sind.
Also da die Umgebung von a auf jeden Fall in D enthalten ist, muss aus
f(x)<=f(a) für alle x auf D
folgen, dass
f(x)<=f(a) für alle x in der Umgebung von a
Ist jetzt mehr Sinn da?
Ciao
Cosine |
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