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Beitrag |
    
Roberto
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 15:06: | 
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Begründe oder widerlege die Formulierung:
Eine konstante Funktion hat keine Extremstelle
Dazu ist mir eingefallen:
f(x)=c => f'(x)=0 => f"(x)=0 => keine Extremstelle
reicht das? |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 16:53: |
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Hallo Roberto!
Ich würde sagen, daß das reicht.
MfG
Ralph |
Roberto
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 16:58: |
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DANKE |
Roberto
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 16:58: |
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DANKE |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 21:47: |
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Moment!
Ich gebe zu, dass meine Thesen wenn sie sich auf amerikanische Bücher stützen etwas umstritten sind (siehe Frage mit lokal und absolutem Maximum)
Aber hier bin ich mir sicher, dass Deine Argumentation NICHT reicht:
In Deiner Argumentation sieht es so aus, als ob aus der Tatsache, dass f'(c)=f''(c)=0 folgen würde, dass c kein Extrempunkt ist.
Das ist falsch, weil
Die Funktion f(x)=x4 hat einen absoluten Tiefpunkt an der Stelle x=0
Obwohl an dieser Stelle die ersten zwei Ableitungen 0 sind.
Ciao
Cosine |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 21:56: |
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Hallo Cosine!
Eine Frage habe ich an dich: in deinem Buch steht als Definition für ein lokales Maximum (oder Minimum), daß f(x)>f(a) sein muss oder f(x)>=f(a)?
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 21:59: |
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Da steht >= |
Roberto
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:04: |
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Ok, der Einspruch ist gerechtfertigt:
Ergänzende Formulierung:
und alle weiteren Ableitungen
f''',
f'''',
f'''''
etc. sind dann ebenfalls gleich Null, da die Ableitung von 0 gleich Null ist (und zwar überall, nicht nur in einem Punkt)
Das hatte ich nicht extra hingeschrieben, dass alle weiteren Ableitungen natürlich gleich Null sein müssen, wenn die erste Ableitung bereits gleich Null ist.
Vielen Dank euch beiden |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:13: |
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Tut mir Leid, aber ich weiß nicht, wie gemein Dein Lehrer ist, aber es gibt eine Funktion, die an der Stelle 0 sämliche Ableitungen 0 hat und trotzdem dort einen absoluten Tiefpunkt hat...
f(x) ={ e-1/x² für x ungleich 0
f(x) ={ 0 für x = 0
Die Tatsache, dass diese Funktion beliebig oft diff.bar an der Stelle 0 ist, ist in keiner Weise trivial und dass die Ableitungen alle Null sind, erst recht nicht. Ich müsste etwas überlegen, bis mir der Rechenweg einfällt, um das zu zeigen, aber Tatsache ist:
Wenn eine Funktion an einer Stelle alle Ableitungen 0 hat, so kann sie immer noch an dieser Stelle eine Extremstelle haben...
Sorry,
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:20: |
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Muss das denn überhaupt mit der Ableitung gezeigt werden?
Angenommen wir nehmen "Deine" Definition eines lokales Extremwertes:
Hochpunkt in x=a: f(x) < f(a) für alle x aus Umgebung von a
Tiefpunkt in x=a: f(x) > f(a) für alle x aus Umgebung von a
Annahme: es gäbe einen Hochpunkt, dann müsste gelten, dass
f(x) < f(a) für alle x aus Umgebung von a
Wenn wir aber x und a einsetzen, erhalten wir in jedem Fall c, da ja f(x)=c=konst für alle x
Das würde führen zu:
c < c
Widerspruch!
=> Also keine Hochpunkte q.e.d.
Das Gleiche für Tiefpunkte und das war's..
Oder? |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:27: |
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Hallo Cosine!
Du verwirrst mich gerade ein wenig. Wenn ich davon ausgehe, daß die Definition eines Hochpunktes oder Tiefpunktes f(x)<=f(a) (oder >= )ist (wovon ich ja ausgehen muss, da ich auf Extrema und nicht nur auf absolute Extrema hin untersuche), dann ist doch c <= c sehr wohl denkbar.
MfG
Ralph |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:35: |
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Entschuldigung für die Verwirrung...
Jetzt systhematisch:
1.) Nach der Definition im Calc-Buch gilt IMMER GRÖSSER GLEICH
Demanch wäre bei einer konstanten Funktion jede einzelne Zahl eine Extremstelle.
2.) Nach der Definition, die hier aber wohl verwendet werden soll, gilt wohl noch GRÖSSER und nie GLEICH
Ich habe extra geschrieben, dass ich "seine" Definition verwendet habe. Nach dieser hat eine konstante Funktion keine einzige Extremstelle.
Konnte das die Verwirrung etwas beseitigen?
Ich hoffe, ja.
Ciao
Cosine |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Oktober, 2001 - 22:42: |
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Hallo Cosine!
Ja, ich denke, daß man sich darauf einigen kann, wenn man die Definition einschränkt.
Aber mir kommt gerade die Idee, daß die andere Definition, die du vorgeschlagen hast, noch viel besser genutzt werden kann, um diese Formulierung zu widerlegen. Denn du sagst ja selber, daß dann jede Stelle eine Extremstelle sein müsste. Damit wäre auch gegeben, daß die Formulierung nicht stimmt.
MfG
Ralph |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 08:00: |
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Hallo allerseits,
f(x) = c
Ich denke eine Untersuchung der Ableitund(en) ist hier hinfällig.
Es genügt, die Definition von Maximum und Minimum zu betrachten:
Die Funktion f(x) = c hat in jedem ihrer Punkte sowohl ein Maximum als auch ein Minimum!
Wie Cosine ja schon weiter oben festgestellt hat.
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Zur Definition:
Wenn gilt: f(x) <= f(a) usw. dann spricht man von einem lokalen Minimium
Wenn gilt f(x) < f(a) usw. dann spricht man von einem echten lokalen Minimum
(Gleiches gilt natürlich für Maxima).
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Gruß, Fern |
Roberto
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 00:44: |
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Hallo ihr,
ich versuche jetzt nochmal zusammenzufassen:
also die Funktion f(x) = c hat in jedem ihrer Punkte sowohl ein Maximum als auch ein Minimum, wenn man damit kein echtes Max./Min. meint.
Weil ja f(x) >= f(a) und f(x) <= f(a) immer erfüllt ist, egal welches a man meint.
Und wenn man fragt:
Begründe oder widerlege die Formulierung:
"Eine konstante Funktion hat keine echte Extremstelle"
also wenn man "echte Extremstelle" definiert als:
Hochpunkt in x=a: f(x) < f(a) für alle x aus Umgebung von a
Tiefpunkt in x=a: f(x) > f(a) für alle x aus Umgebung von a
dann gibt es bei einer konstanten Funktion keine echte Extremstelle, weil ja nie f(x) = c < c = f(a ) oder f(x) = c > c = f(a ) gilt.
Richtig? |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 17:54: |
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Richtig!
Ciao
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 21:34: |
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Hallo Robert und Cosine,
Siehe dazu auch:
(Satz 2.6.3. Satz vom Maximum)
http://www.math.uni-sb.de/~ag-wittstock/analysis1/Vorlesung/node57.html |
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