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Keule
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 20:56: | 
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Hallo alle.
Ich hab ne echt krasse Hausaufgabe auf und bin mal wieder zu blöd
lim(x->pi)von(1 + cosx)/(sinx)
lim(x->1)von (x^(1/3)-1)/(x-1)
Wer hilft??
Danke |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 21:54: |
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Hi Keule,
Die gesuchten Grenzwerte sind 0 und 1/3.
Die Herleitung ist nicht allzuschwer ,wenn einem der rettende Gedanke einfällt:
zu a) Du erweiterst den Bruch mit (1- cos x) ; es entsteht (1-cosx ^2) / (sin x * (1-cosx )) Jetzt erseze den Zähler durch sin^2 x und kürze mit sin x ;es bleibt der Bruch
sinx /(1-cosx) und das strebt gegen null , wenn x gegen pi strebt.
zu b) Du kannst mit Vorteil x = z^3 substituieren ,und es ergibt sich:
(z-1) / (z^3 - 1) .Faktorzerlegung im Nenner liefert:
(z-1 ) / ((z-1) * (z^2+z+1) ; kürze jetzt z-1 weg : dann bleibt noch 1/ (z^2+z +1) und das strebt gegen 1/3 , wenn x und damit auch z gegen 1 gehen.
Gruss H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2000 - 17:10: |
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Hi Keule,
Im folgenden möchte ich Dir zeigen, dass Deine gar nicht so krassen Aufgaben auf mannigfache Art gelöst werden können:
1. Wie ich Dir gestern erklärte, werden die Terme vor dem Grenzübergang zweckmässig umgeformt (erweitern, kürzen u. s. w.) und zwar so lange, bis keine sogenannten unbestimmten Formen wie z.B. 0 / 0 beim Einsetzen im Zähler und Nenner mehr entstehen..
2. Du verwendest die Regel von de l' Hospital - Bernoulli (habt Ihr im Unterricht davon gehört ?) . Die Regel geht so :
Nähern sich im Bruch f (x) / g (x) Zähler und Nenner der Grenze null, wenn sich x dem Wert a nähert, so erhält dieser Bruch die sogenannte unbestimmte Form 0 / 0
Man findet dabei den Grenzwert des Bruches ( den "wahren Wert" ) lim f / g , indem man Zähler und Nenner einzeln nach x ableitet (also nicht die Quotientenregel anwendet !) und in den Quotienten der Ableitungen x = a einsetzt.
Deine Beispiele funktionieren dann folgendermassen
a) lim ((1+cosx)/ sinx) = ( Zähler und Nenner einzeln nach x abgeleitetJ
lim (- sinx / cos x) = (jetzt x = a = pi einsetzen) = 0 / -1 = 0
b) lim ((x^1/3 - 1 ) / (x -1)) = (Zähler und Nenner einzeln nach x ableiten) =
lim (( 1/3*x ^(-2/3) / 1 ) = (jetzt x = 1 einsetzen) =1/3*1 / 1 = 1/3 .
3. Anwendung goniometrischer Formeln
Es gibt eine Umrechnungsformel aus der Trigonometrie, die zur Aufgabe a) passt :
tan (a / 2 ) = (1- cos a ) / sin a = sin a / ( 1 + cos a ) , somit : (1 + cos x ) / sin x
= cotg (x /2) und dies strebt gegen 0 , wenn x gegen pi strebt .
4. Du kannst Reihenentwicklungen ( Taylorreihen u. a. ) benützen; dies wäre allerdings für Deine Aufgaben ein zu schweres Geschütz !
5. Vielleicht erkennst Du im Ausdruck ,dessen Grenzwert Du ermitteln sollst, einen alten
Bekannten : der Quotient aus Deiner zweiten Aufgabe sieht wie ein Differenzenquotient
delta y / delta x aus (Du erinnerst Dich doch ! )
Bei näherem Hinsehen erkennst Du: es handelt sich um den Differenzenquotienten der
Funktion y = x ^ (1/3) an der Stelle x =1 ; es gilt : delta y = x ^(1/3) - 1 ^ (1/3) ,
delta x = x - 1 Der Quotient beider strebt ex definitione gegen die Ableitung der
Funktion y = x ^ (1/3) an der Stelle x = 1 und dies ist, wie man leicht nachrechnet ,
1/3 ( y ' = 1/3 * x ^ (- 2 / 3 ) an der Stelle x = 1)
Genug für den Moment !
Gruss H.R. |
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