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Julia
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2001 - 19:35: | 
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hi ihr!
Ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiter komme. Bitte hilft mir!
Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(-2|-1), B(3|0) und C(-1|4). Eine Gerade g geht durch A und teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Teile. Bestimmen Sie die Gleichung von g.
Ich kapier natürlich mal wieder nix!
Ich wär euch sehr dankbar, wenn ihr mir weiter helfen könntet!
Liebe Grüße
Julia |
Alaina (Alaina)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 08:50: |
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Hi Julia,
so leicht ist die Aufgabe nun wirklich nicht.
Ich habe sie zeichnerisch gelöst und für die Gleichung g(x)= x+1 herausbekommen.
Soweit ich gesehen habe ist es hier ein Zufall, dass die Höhe des Dreicks gleich ein Stück der Geraden ist und das Dreick in zwei deckungsgleiche Dreicke teilt. Rechnerisch bin ich noch am rätseln... |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 09:51: |
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Hi Julia und Alaina!
Ich habe mal etwas drüber nachgedacht und bin auf Folgendes gekommen:
Zuerst habe ich mal die Seitenlängen im Dreieck berechnet:
Länge der Seite AC ist
Wurzel((-2+1)²+(-1-4)²)=Wurzel(26)
Länge der Seite BC ist
Wurzel(-1-3)²+(4+0)²)=Wurzel(32)
Länge der Seite AB ist
Wurzel(-2-3)²+(-1-0)²)=Wurzel(26)
Man sieht also: Die Seite AC ist genausolang wie AB, also hat das Dreieck zwei gleichlange Seiten, ist also gleichschenklig.
Bei einem gleichschenkligen Dreieck gilt nun das, was Du (Alaina) festgestellt hast, nämlich, dass
die Höhe das Dreieck in zwei deckungsgleiche Dreiecke teilt. Das ist immer bei gleichschenkligen Dreiecken der Fall.
Wir wissen jetzt also: Die Seiten AC und AB sind gleich lang.
=> Also teilt die Höhe auf BC das Dreieck in zwei deckungsgleiche Dreiecke.
Diese Höhe muss senkrecht auf der Seite BC stehen.
Was also nun noch zu tun ist, ist
1.) die "Steigung" der Seite BC zu bestimmen. Das müsste relativ einfach sein, da wir zwei Punkte, B und C kennen.
2.) die "Steigung" der Höhe auf BC finden, in dem man ausnutzt, dass die beiden Steigungen multipliziert (-1) geben müssen, da die Höhe ja senkrecht auf der Seite BC steht.
3.) Wenn man die Steigung in 2.) berechnet hat, muss man nur noch den Punkt A(-2|-1) einsetzen und hat die gesamte gesuchte Geradengleichung.
Und das ist dann genau die y=x+1, die Du (Alaina) schon zeichnerisch bestimmt hast.
Macht das Sinn? Oder denke ich zu kompliziert?
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
Alaina (Alaina)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 10:06: |
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Hi Cosine,
ja, ich denke das macht Sinn. (Ich bin am Seitenlängen bestimmen gescheitert.) Falls Du Zeit hast, könntest Du mir erklären, wie rechnerisch die Höhe bestimmt hast??? Die Steigung der Strecke CB ist schon klar, aber wie kommst Du auf die Höhe bzw. die Mitte der Strecke BC? |
Julia
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 13:30: |
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Danke ihr beiden, aber wie wär das, wenn es kein gleichschenklige Dreieck wär!? Könnt ihr mir das an ner Aufgabe zeigen? Bitte!
Julia |
Alaina (Alaina)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 13:44: |
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Hi Julia,
es gibt ja die Kongruenzsätze für Dreiecke
1.Seite - Seite- Seite
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.
2. Seite-Winkel- Seite
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
3. Winkel-Seite-Winkel
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmt.
4. Seite-Seite-Winkel
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn der größeren Seite der größere Winkel gegenüber liegt.
So habe ich angefangen mir Gedanken darüber zu machen, welche Eigenschaften die zwei neuen Dreicke haben müssen. In den meisten Aufgaben hast Du die Möglichkeiten die Seitenlänge oder einen Winkel zu berrechen, wenn nicht alles schon gegeben ist. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 13:53: |
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Hi Alaina (interessanter Name),
Freut mich, wenn's Sinn macht.
Die Steigung der Strecke CB ist (-1). Klar wieso?
Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, dann ist
m1*m2 = -1
(wenn m1 und m2 die beiden Steigungen sind)
Die Steigung der einen Gerade ist (-1). Die Steigung der anderen ist gesucht:
m * (-1) = -1
=> m = 1
Ich weiß jetzt also, dass die Steigung meiner gesuchten Gerade 1 ist.
Bei der allgemeinen Gleichung
y=m*x+c
hätte ich also dann
y=1*x+c
also
y=x+c
Jetzt weiß ich, dass die Gerade durch A(-2|-1) geht, also kann ich für x=-2 und für y=-1 einsetzen:
-1=-2+c
=> 1=c
Also kommt für die Geradengleichung:
y=x+1
heraus.
Wie Du siehst, habe ich den Mittelpunkt von BC überhaupt nicht berechnet und demnach auch nich verwendet.
Obwohl das auch eine Möglichkeit gewesen wäre.
Alternative Lösung:
Man berechnet den Mittelpunkt von BC, indem man sowohl bei der x- wie auch bei der y-Koordinate den Mittelwert bildet.
Anders formuliert:
X-Koordinate von Mittelpunkt =( (X-Koordinate von B) + (X-Koordinate von C) )/2
Y-Koordinate von Mittelpunkt =( (Y-Koordinate von B) + (Y-Koordinate von C) )/2
Anschließend sucht man sich eine Gerade die durch A und durch diesen errechneten Mittelpunkt geht.
Bei diesem Weg braucht man sich dafür keine Gedanken um die Steigung das Senkrechtstehen zu machen...
Mit dieser zweiten Methode berechnen wir -genaugenommen- aber nicht die Höhe, sondern die Seitenhalbierende von BC. Das ist aber netterweise bei gleichschenkligen Dreiecken das Selbe.
War das jetzt zu kompliziert?
Bei irgendwelchen Unklarheiten, frag ruhig nochmal nach!
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen!
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 21:16: |
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Hi ihr zwei!
Zum Thema Kongruenz fällt mir grad was auf:
Kongruenz bedeutet "deckungsgleich", d.h. das eine Dreieck würde genau auf das andere draufpassen, wenn man vorher entsprechend verschiebt/spiegelt/dreht.
"deckungsgleich" war aber überhaupt nicht gefragt, sondern nur "flächengleich".
Zwei Dreiecke können völlig unterschiedlich aussehen, also nicht kongruent sein, aber trotzdem die gleiche Fläche haben.
Beispiel: Zum Nachzeichnen auf Karo-Papier:
1.Dreieck: A(0|0) B(4|0) C(0|2)
2.Dreieck: A(0|0) B(4|0) C(1|2)
3.Dreieck: A(0|0) B(4|0) C(2|2)
Diese drei Dreiecke sind alle nicht kongruent, also nicht deckungsgleich (man kann sie also nicht übereinanderlegen), aber alle flächengleich. Zum Nachrechnen: Fläche = Grundseite * Höhe (also in jedem Fall 4*2)
Ich bin mir selbst im Moment noch nicht sicher, wie man das Problem man besten angehen würde, wenn es kein gleichschenkliges Dreieck wäre, aber bei den Kongruenz-Sätzen wäre ich vorsichtig, da "Kongruenz" gar nicht gefordert, sondern nur nach "Flächengleichheit" gefragt ist.
Ansonsten tappe ich auch noch im Dunkeln... Sobald ich was gefunden habe, wie man auch nichtgleichschenklige Dreiecke "halbieren" kann, sag ich wieder Bescheid...
Ciao
Cosine |
Julia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 18:19: |
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Danke, danke, danke!!!
hey, du hast dir ja voll die mühe gemacht, voll nett! Bei uns in der Schule ists voll dumm, da will jeder nur der beste sein und erklärt niemandenm was! danke nochmal und wenn du noch mehr findest, dann meld dich bitte!
Julia |
Andreas (Dio64596)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 12:43: |
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Bei einem nicht gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe des ersten Dreiecks gleich der Höhe der 2 Teildreiecke. Somit kann man BP (P ist der Schnittpunkt von g und BC) in Abhängigkeit vom ersten Dreieck ausdrücken. Die Koordinaten von P kann man ermitteln da man weiß dass P auf BC liegt und man BP hat.
Nun muss man nur noch die Gerade durch A und P finden. |
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