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ilka
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2001 - 18:03: | 
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Hallo! ich brauche ganz dringend Hilfe, weil ich am Dienstag eine Mathe-Klausur schreibe. und ich kann eigentlich gar nix. über grbrochen rationale funftionen, mit ableitung und extremwerte ausrechnen und so nen mist. helft mir bitteee! |
Ralph (Raz)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2001 - 18:08: |
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Hallo ilka!
Ich würde dir ja gerne helfen, aber da ich nicht weiß, was ihr schon alles zu diesem Thema gemacht habt ist eine allgemeine Hilfe recht schwer. Such dir doch mal aus deinem Mathebuch eine Aufgabe raus, mach ich Funktionsuntersuchung dazu (mit allem, was so dazugehört) und poste die hier. Wenn es irgendwelche Fragen für dich gibt, schreib sie einfach dazu und ich bin mir sicher, daß sich Leute finden werden, die dir damit weiterhelfen können.
MfG
Ralph |
Petruschka
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2001 - 23:16: |
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Hallo ilka,
Ich gratuliere zu Deiner überaus aufschlußreichen Überschrift! |
ilka
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 12:58: |
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okay, zum Beispiel so was wie
x³-2x : x²-3 !!
oder (x+5)³ (x-2)² (2x-8)²
------ ------ --------
(x+5)hoch6 (x-2)hoch4 (x-4)
wie errechnet man sich da z.B. einen Ersatzterm und wofür braucht man den?
Kannst du mit das mal ganz vorrechnen? So mit Ableitungen, Nullstellen berechnen, symmetrie, Extremstellen usw.?
DAAANKEEE!
Ilka*
Kann man das da oben noch lesen? Das sollen jeweils brüche sein, okay? drei stück insgesamt, in der zweiten aufgabe. |
Alaina (Alaina)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 13:27: |
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Bei der ersten würde ich ausklammern,
f(x)=[x(x²-2)]: x²-3
Definitionslücke wäre dann hier + - Wurzel 3 (der Nenner darf bei Brüchen nicht =0 sein).
Als Nullstellen hätte ich dann x=0 und x=+- Wurzel 2.
Jetzt ableiten:
f´(x)= [3x²(x²-3)]- [(x³-2)2x]/ (x²-3)²
= 3x^4-9x²-(2x^4-4x)/x^4-6x²+9
= x^4-5x²/ x^4-6x²+9
Um hier die Extrempunkte zu errechnen, muß man jetzt einen Ersatzterm verwenden. Vielleicht kann hier jemand anderes weiterrechnen, denn bevor ich was falsches erzähle bin ich lieber still. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Oktober, 2001 - 10:24: |
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Tach!
f(x)=(x³-2x)/(x²-3)=x(x²-2)/(x²-3)
Also erstmal überprüfen wir diese Funktion auf Symmetrie, indem wir für x -x einsetzen und schauen, was passiert:
f(-x)= -x((-x)²-2)/((-x)²-3)
= -x(x²-2)/(x²-3)
= -f(x)
Wir sehen also, dass f(-x) immer genau -f(x) ist.
Das bedeutet, dass der Graph von f symm. zum Ursprung ist.
Nullstellen und Definitionslücken:
Sehe ich genauso.
Ich bin aber auf eine andere 1. Ableitung gekommen:
f'(x)=[ (3x²-2)(x²-3) - (x³-2x)2x ]/(x²-3)²
=[ 3x4-2x²-9x²+6 -2x4+2x² ]/(x²-3)²
=(x4-7x²+6)/(x²-3)²
Um mögliche Extremstellen zu finden, muss man nun überprüfen, wann die erste Ableitung Null wird. Dazu reicht es aus, wenn der Zähler Null wird, der Nenner ist hier also nicht wichtig:
f'(x)=0
(x4-7x²+6)/(x²-3)²=0
x4-7x²+6=0
Da in dieser Gleichung nur x² und x4 vorkommen, kann man substituieren, d.h. wir ersetzen unsere Variable x durch eine neue, die wir als
u=x²
definieren.
Wenn also u=x² ist, dann ist u²=x4 und wir können einsetzen:
Aus
x4-7x²+6=0
wird dann
u²-7u+6=0
Hier kann man nun die pq- oder abc-Formel verwenden, (je nachdem welche von beiden Ihr in der Schule durchgenommen habt-vermutlich pq-Formel) und erhält:
u1/2 = (+7 +/- Wurzel{49-4*1*6})/(2)
= ( 7 +/- 5)/2
Wir haben also zwei mögliche Werte für u:
u1 = (7+5)/2=12/2 = 6
u2 = (7-5)/2=2/2 = 1
Jetzt wollen wir aber keine u-Werte, sondern x-Werte herausbekommen, also müssen wir wieder zurückeinsetzen:
Da x²=u ist, ist x entweder +Wurzel(u) oder -Wurzel(u)
Jeder u-Wert hat also zwei x-Werte, und da wir 2 u-Werte haben, gibt das insgesamt 4 x-Werte:
x1 = +Wurzel(6)
x2 = -Wurzel(6)
x3 = +Wurzel(1) = 1
x4 = -Wurzel(1) = -1
Also hat die obige Gleichung
x4-7x²+6=0
die vier Lösungen (-Ö6, -1, 1, Ö6)
Das bedeutet aber leider noch nicht, dass diese vier Zahlen auch alle Extremstellen sind, da wir nur eine notwendige Bedingung und keine hinreichende Bedingung überprüft haben.
Sicher wären wir, dass das alles vier Extremstellen sind, wenn wir diese Werte in die 2. Ableitung einsetzen täten und dort Werte ungleich 0 erhalten würden.
Die zweite Ableitung lautet
f''(x)=2x(x²+33)/(x²-3)³
(is ne Menge Schreibarbeit, um da hin zu kommen)
Setzen wir nun den Wert x=1 ein, um zu sehen, ob x=1 eine Extremstelle ist:
f''(1)=2*1(1²+33)/(1²-3)³
=2*34/(-2)³
=-2*34/8
Das ist auf jeden Fall KLEINER ALS Null, also gehört zu x=1 ein HOCHPUNKT!
Da die Kurve symm. zum Ursprung ist, muss x=-1 damit ein TIEFPUNKT sein.
Bleiben noch die Fälle Ö{6} und -Ö{6} :
f''(Ö6)=2*Ö{6} (6+33)/(6-3)³
=2*greek{Ö}{6} * 39/3³
Das ist auf jeden Fall GRÖSSER ALS Null, also gehört zu x=Ö{6} ein TIEFPUNKT!
Wegen der Symmetrie zum Ursprung muss x=-Ö{6} dann ein HOCHPUNKT sein!
Nun haben wir die x-Werte der Extrempunkte, aber die y-Werte fehlen noch - die erhält man durch Einsetzen in die AUSGANGSGLEICHUNG:
f(1)=1*(1²-2)/(1²-3)=(-1)/(-2) = 1/2
f(Ö6)=Ö6 * (6-2)/(6-3)
=Ö6 * 4/3
=4/3*Ö6
Der Funktionswert von (-1) muss -wegen der Symmetrie- =(-1/2)
und der von (-Ö6) muss demnach
=(-4/3*Ö6) sein
Also:
HP (-Ö6 | -4/3Ö6)
TP (-1 | -1/2 )
HP (1 | 1/2 )
TP (Ö6 | 4/3Ö6)
So, jetzt hab ich erstmal genug. Vielleicht macht ja jemand anderes weiter... (Wendepunkte, Asymptoten)
Alles einigermaßen klar, soweit?
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen!
Ciao
Cosine |
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