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Sandy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2000 - 16:38: | 
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Servus,
ich brauche dringend eine Erklärung für die Methode des unendl. Abstiegs über Induktion.
Morgen scheibe ich eine u.a. darüber eine Klausur und bin schon am Verzweifeln, da meine Unterlagen spärlich sind *verzweifel*. Bsp. wäre supernett. |
Sandy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2000 - 18:08: |
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Ich bin tatsächlich am verzweifeln... |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2000 - 19:40: |
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Es sei A eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, und du willst zeigen, dass diese Menge leer ist. In solch einem Fall kann dir möglicherweise das Prinzip des "Abstiegs von Fermat" weiterhelfen. Das geht wie folgt.
Angenommen, es gibt doch ein Element x aus A. Du musst jetzt irgendwie ein Argument finden, welches dir ein y<x liefert, sodass auch y aus A ist. Dann ist der Widerspruch da! Denn mit y lässt sich das gleiche Argument wiederholen, und du findest ein z<y, welches wieder in A liegt. Usw, usw. Dies liefert eine streng monoton fallende Folge natürlicher Zahlen, die es nicht geben kann.
Gewissermaßen ist das ein umgedrehter Induktionsbeweis. Und du kannst das Prinzip auch mit vollständiger Induktion beweisen:
Theorem:
Es sei A eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.
Voraussetzung: Für jedes x aus A gibt es ein y aus A mit y<x.
Behauptung: A ist die leere Menge, d.h. für alle natürlichen Zahlen x ist x kein Element aus A.
Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: 0 ist kein Element aus A, da es sonst nach Voraussetzung ein y<0 (mit y aus A) geben müsste.
Induktionsschritt:
Es sei x eine natürliche Zahl und für alle y<x sei bereits gezeigt, dass y kein Element von A. Dann ist aber auch x kein Element von A, denn sonst gäbe es nach Voraussetzung ein y<x aus A.
Klaro?
Und jetzt auch noch ein Beispiel? Fällt mir momentan nur die Aussage "es gibt keine x,y,z mit x³+y³ = z³" ein. Ist aber leider ziemlich kompliziert und mangels nicht verfügbarer Unterlagen jetzt auch nicht parat.
Ich denk noch mal nach... |
Sandy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2000 - 21:55: |
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DANKE schon mal, du Held! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2000 - 22:40: |
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...ein Beispiel?
Wäre echt interessant.
Danke |
Sandy
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 00:26: |
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Bitte! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Februar, 2000 - 20:26: |
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Sandy, tut mir echt leid, aber mir fällt momentan wirklich kein intelligentes Beispiel ein. Aber wenn ihr das gerade dranhabt,: vielleicht hast du ja ein Beispiel, welches du nicht verstehst. |
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