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Beitrag |
    
Swinging Dany
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. September, 2001 - 21:00: | 
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Hallo, wer kann diese Aufgabe lösen:
Bestimme Wendepunkte und Extrema:
f(x) = {
{ 4x²-4 ............ für x<=0
{ -x³ +3x² -4 ........... für 0<= x <=2
{ 4x² -16x +16 ..... für 2 <= x |
Justin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2001 - 13:50: |
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Hallo Dany,
Du musst die drei Teil-Funktionen einzeln auf ihre Extrema untersuchen mit der Methode, wie man sie in der Schule lernt: erste Ableitung bilden und gleich NULL setzen und mit der zweiten Ableitung das Ergebnis prüfen.
Und einen Wendepunkt kann nur der kubische Teil der Funktion haben, denn quadratische Funktionen haben keinen Wendepunkt. Und hier gilt dann eben, die zweite Ableitung gleich NULL zu setzen und mit Hilfe der dritten Ableitung das ganze überprüfen.
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f1(x) = 4x²-4 (Def.ber.: x<=0)
f1'(x) = 8x
0 = 8x
x = 0 => Extremwert bei x=0
f1''(x)= 8 => positiver Wert der zweiten Ableitung an der Extremwertstelle
=> weist auf ein lokales Minimum
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f2(x) = -x³ +3x² -4 (Def.ber.: 0<=x<=2)
f2'(x) = -3x²+6x = x(-3x+6)
0 = x(-3x+6)
Ein Produkt wird dann NULL, wenn einer der Faktoren gleich NULL ist, also erkennt man die erste Lösung sofort:
x = 0
Zweite Lösung ergibt sich aus 0 = -3x + 6 ==> x=2
Das heißt also, dass für x=0 und x=2 Extremwerte vorhanden sein könnten. Nun wieder die Prbe mit der zweiten Ableitung.
f2'(x) = -3x²+6x
f2''(x) = -6x + 6
f2''(0) = 6 => lokales Minimum
f2''(2) = -6 => lokales Maximum
Wendepunkt der Teilfunktion:
f2''(x) = -6x + 6
0 = -6x + 6
x = 1
f2'''(x) = -6 => Wendepunkt existiert, da die dritte Ableitung ungleich NULL ist.
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f3(x) = 4x² -16x +16 (Def.ber.: x=>2)
f3'(x) = 8x - 16
0 = 8x - 16
x = 2
f3''(x) = 8 => x=2 ist die Stelle für das lokale Minimum dieser Teilfunktion.
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Nun gilt es diese Angaben auch sinnvoll zusammen zu setzen.
An der Stelle x=0 ist für die Ausgangsfunktion in der Tat ein lokales Minimum zu finden, denn beide Teilfunktionen f1 und f2, die im x=0 definiert sind, haben dort auch ein lokales Minimum.
An der Stelle x=1 hat die Teilfunktion f2 eine Wendestelle, da hier notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt sind. Und da x=1 nur für f2 definiert ist, muss hier keine weitere Untersuchung stattfinden.
An der Stelle x=2 ist für die Teilfunktion f2 ein lokales Maximum gegeben, für f3 dagegen ein lokales Minimum. Somit kann es sich hier nicht um ein lokales Extremum handeln. Wohl aber um einen Wendepunkt, denn das Krümmungsverhalten ändert sich.
Wie man aus den Berechnungen sehen kann, ist f2''(2)=-6, f3''(2)=8. Die Krümmung der Funktion ändert sich also mit zunehmendem x von rechtsgekrümmt auf linksgekrümmt.
So, ich hoffe, es ist alles klar :-) |
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