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Beitrag |
    
Martin Siudeja (Informatic)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 16:23: | 
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Hy, ich hab 3 Aufgaben und muss den grenzwert beweisen:
Hier die 3 Aufgaben:
an= 6n+2/3n
an= Wurzel aus(n^2-n)-n
an= (2^n+1)/(2^n)+1
Eine detaillierte Rechnung währe ganz nett, da ich zum Beispiel bei der 2 . Aufgabe nicht weiß wie ich die Wurzel wegbekomme.
Martin!! |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 15:29: |
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Ich nehme mal an, die grenzwerte für n®¥; Beweisen heißt wohl "beweisen mit der Definition des Grenzwertes", welch da lautet: "Eine Folge an nÎN hat für n®¥ den Grenzwert a, wenn es zu jeder Prüfzahl e>0 eine Schwelle k gibt, so dass für alle n>k gilt: |an-a|<e"
1. Soll das 6*n + 2/3n heißen oder (6*n+2)/(3*n)? Ich nehme mal das zweite:
Also ich nehme mal an, dass der Grenzwert 2 ist (naja, ich weiß das, aber schau ma mal...):
|((6*n+2)/(3*n))-2|<e ® |(2+2/3*n)-2|<e ® |2/3*n|<e ® 2/3*|1/n|<e; da nÎN ist 1/n immer positiv, also |1/n|=1/n ® 2/3*1/n<e ® 2/3*e<n oder n>2/3*e=k Da für jedes e der Ausdruck 2/3*e=k eine reele, positive Zahl liefert, die endlich ist, gibt es also zu jedem e eine Schwelle k, so dass für alle n>k |an-a|<e
Die 2. und 3. kommt später (meine Schwester will ins Internet...) |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 17:55: |
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2. Zunächst zeige ich, dass Ö(n2-n)-n<-1/2 für alle n:
Ö(n2-n)-n³-1/2 ® Ö(n2-n)³-1/2+n ® n2-n³(-1/2+n)2 ® n2-n³1/4-n+n2 ® 0³1/4 was zu einem Wiederspruch führt; aus Ö(n2-n)-n<-1/2 erhält man aber 0<1/4, was für alle n gilt.
|Ö(n2-n)-n+1/2|<e; Wie oben gezeigt ist der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen kleiner 0, also kann man wie folgt ersetzen: -Ö(n2-n)+n-1/2<e ® -Ö(n2-n)<e-n+1/2 ® Ö(n2-n)>-e+n-1/2 ® n2-n>e2+n2+1/4-n+e-2*n*e ® 2*n*e>e2+1/4+e ® n>(e2+1/4+e)/(2*e)=k
Da e¹0 ist k stets definiert und existiert immer. Also ist der Grenzwert -1/2
3. Ich nehme an du meinst: (2n+1)/(2n+1)
Zunächst: (2n+1)/(2n+1)<2 ® (2n)/(2n+1)<1 ® (2n)<(2n+1) ® 0<1 q.e.d.
|(2n+1)/(2n+1)-2|<e mit obiger Ungleichung ® -(2n+1)/(2n+1)+2<e ® 2*(1-(2n)/(2n+1))<e ® 2*((2n+1)-(2n))<(2n+1)*e ® 2<2n*e+e ® 2-e<2n*e ® (2-e)/e<2n ® ln((2-e)/e)<n*ln(2) ® n>ln((2-e)/e)/ln(2)=k
k ist zwar für e³2 nicht definiert, aber das liegt daran, dass eine größere Abweichung als 2 vom Grenzwert 2 nicht möglich ist; ausserdem kommt es ja sowieso nur darauf an, dass für beliebig kleine e eine Schranke k existiert. Und das ist ja der Fall. |
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