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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Februar, 2000 - 21:18: | 
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Wer kann mir helfen? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2000 - 22:15: |
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Hi Anonymus,
Was die erste und zweite Ableitung der Funktion y = x^x anbelangt , kannst Du bei Martina nachsehen, die gerade heute danach gefragt hat.
Im übrigen stellen wir einige der wesentlichen Eigenschaften der Funktion zusammen:
1. Definitionsbereich: Für x sind alle positiven reellen Zahlen zugelassen
2. Wertebereich: Alle Funktionswerte y sind positive reelle Zahlen
3. Nullstellen sind keine vorhanden
4. Für x gegen unendlich geht auch y gegen unendlich
5. Für fallendes x gegen null strebt y gegen 1 (es existiert bei x =0 ein sog. rechtsseitiger Grenzwert 1) Den Nachweis kann man durch Logarithmieren von y erbringen: es gilt ln y = x* lnx und dies strebt gegen null, wenn x von rechts gegen null geht.(strenger Nachweis z.B. mit der Regel von de l 'Hospital / Bernoulli; man formt dazu um :
ln y = lnx / (1/x) )
6. Die erste Ableitung von y lautet : y' = x^x* (1+ln x) mit der einzigen Nullstelle x = e^ (-1)
Es liegt hier ein relatives und absolutes Minimum der Funktion vor .Der zugehörige y-Wert des Tiefpunktes ist y=(1/e)^(1/e)Zahlenwert angenähert 0.6922.
7. Die zweite Ableitung von y ergibt sich zu y'' =x^x *(1 + ln x)^2 + x^1/x.
Diese zweite Ableitung besitzt keine reellen Nullstellen, so dass kein Wendepunkt vorhanden ist. Die zweite Ableitung ist von einerlei Vorzeichen , y''(x) ist für alle x positiv und der Graph der Funktion daher (in Richtung der +y-Achse gesehen ) konvex
8. Der Graph lässt sich leicht skizzieren , indem man einige markante Punkte ,
etwa (1 / 1), (2 / 4) , (3 / 27 ) und andere , im Koordinatensystem einträgt
Das sollte reichen !
H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Februar, 2000 - 22:25: |
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Korrektur zu Punkt 7:
Die zweite Ableitung lautet :
y'' = x^x *(1+lnx)^2 + x^x/x
lapsus calami !
H.R. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Februar, 2000 - 21:12: |
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Vielen Dank!! |
Anderer anonym 
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Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2007 - 23:03: |
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ich bedanke mich auch. |
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