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Katharina (nina01)
Neues Mitglied
Benutzername: nina01
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 17:47: | 
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Hallo, hab da ein riesiges Problem mit dieser Aufgabe, hab mir schon soo viele Gedanken gemacht, doch leider kommt nichts bei rum ... hoffentlich kann mir hier jemand helfen.
mfg nina }
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis (x-1)²+(y-1)²=25, die parallel zur Geraden g verlaufen.Bestimmen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.
Gerade g: y=-3/4x - 5/4 |
Holger (matheholger)
Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 18:30: |
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Hi Katharina
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Kreis berührt. Das heißt, sie muss im Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Kreis besitzen.
Anders ausgedrückt: Die Steigung der Tangente ist so groß wie die erste Ableitung des Kreises am Berürpunkt.
Also muss man so vorgehen:
| 1. | Bilde die erste Ableitung des Kreises. | | Dazu musst du die Kreisgleichung erst nach y auflösen (beim Wurzelziehen an ± denken) | | So kriegst du 2 Gleichungen, die du beide ableiten musst. |
| 2. | Setze diese mit der Steigung der Tangente gleich. | | Die Steigung ist -3/4, da die Tangente parallel zur Geraden g ist. |
| 3. | Löse beide nach x auf. | | So erältst du den x Wert der Berührpunkte. |
| 4. | Setze die x-Wert in die Kreisgleichung ein. | | So erältst du die y Werte der Berührpunkte. |
| 5. | Bestimme die Gleichungen der Tangenten. | | Hierzu kannst du in die allgemeine Geradengleichung y=mx+t den x- und y-Wert des Berührpunktes und für m die Steigung -3/4 einsetzen und so t bestimmen. |
Wenn du nicht weiterkommst, dann frag nochmal
Liebe Grüße
Holger
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 18:53: |
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@Holger, das ist die analytische Methode, durchaus OK, das kann aber oft in eine ziemliche Rechnerei ausarten.
Manchmal ist allerdings der geometrische Weg der effizientere, weil wesentlich kürzere, wie hier:
Der Mittelpunkt des Kreises ist M(1|1), von dort eine Normale auf die Gerade, diese schneidet den Kreis bereits in den zwei Berührungspunkten T1 und T2! In diesen die Tangentengleichung mit der Spaltformel aufstellen - fertig!
n: Steigung kn = 4/3, durch (1|1):
y = (4/3)*x + d, mit (1|1) ist 1 = 4/3 + d und daher
d = -1/3
y = (4/3)*x - 1/3 in Kreis -->
x² - 2x + 1 + [(4/3)*x - 4/3]² = 25 |*9
9x² - 18x + 9 + 16x² - 32x + 16 = 225
25x² - 50x - 200 = 0
x² - 2x - 8 = 0
x1 = -2; x2 = 4 -> y1 = -3; y2 = 5
======== ======= ======== =======
T1(-2|-3), T2 (4|5); nun die Tangenten
t1: - 3(x - 1) - 4(y - 1) = 25 -> 3x + 4y = -18
t2: 3*(x - 1) + 4*(y - 1) = 25 -> 3x + 4y = 32
Die Tangenten müssen klarerweise parallel sein!
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 274
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Dezember, 2002 - 11:09: |
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Liebe Nina,
wenn die Tangenten parallel zu einer Geraden an den Kreis gelegt werden sollen, so müssen deren Berührungspunkte auf der Normalen durch den Kreismittelpunkt zu dieser Geraden liegen.
Diese Normale geht NICHT durch den Ursprung (aber nahe an ihm vorbei), sondern durch M(1|1), sie schneidet die x-Achse bei 0,25 und die y-Achse bei -0,33. Dass sie wirklich zu g senkrecht ist, siehst du an deren Anstieg, der ist nämlich kn = 4/3, während der von g gleich kg = -3/4 ist. Die beiden Berührungspunkte T1(-2|-3) und T2(4|5) liegen auf ihr.
Gr
mYthos
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