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Frederik (stresskind)
Neues Mitglied
Benutzername: stresskind
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 20:31: | 
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hi leute
aufgabe: Bestimme die Gleichungen für Tangenten an den Kreis durch den PunktS.
x²+y²=25; S(-1|7)
Gib auch die zugehörigen Berührpunkte an.
Ich hab lange darüber nachgedacht.... und nicht alleine. mit trigonometrie. Also wir haben im unterricht das so gesagt, dass halt der kreis gegeben ist und zwei tangenten, die sich bei S schneiden.
bitte helft mir
wer evtl im buch nachgucken will, wir haben von Schroedel 11 Elemente der Mathematik für NRW Seite 65, Aufgabe 5 |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 730
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 11:40: |
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Die Gleichung (1) ist die für die Hypothenuse des 3ecks (0 | 0),(X | Y),(-1 | 7),
(X+1)²+(7-Y)² ist (Tangente)² von Schnittpunkt bis Berührpunkt
(0): X² + Y² = 5²
(1): (X+1)²+(7-Y)²+5² = 1²+7²
(1)-(0): 2X - 14Y +1+7² + 5² = 1+7²-5²
<==> 2X - 14Y = -50
<==> X = 7Y - 5²
Eingesetzt in (0)
<==> 2*(5Y)²-2*7*5*(5Y)+5²(5²-1)=0
<==> (5Y)² - 7*5*(5Y) + 5²(5²-1)/2 = 0
<==> (5Y) = ( 7*5 ±Wurzel( 7²5² - 2*5²(5²-1) )/2
<==> (5Y) = 5*( 7 ±Wurezl( 49-48 ) )/2
<==> Y1= (7 + 1)/2 = 4, X1=7Y1-25 = 3 } wie es auch die
. . . . . Y2= (7 - 1)/2 = 3, X2=7Y2-25 =-4 } Zeichnung zeigt
Tangente t1(x) = Y1+(x-X1)(7-Y1)/(X1+1) } bitte selbst
Tangente t2(x) = Y2+(x-X2)(7-Y2)/(X2+1) } einsetzen
Lösung auf trigonometrische Weise folgt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 731
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 15:10: |
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X = r*cosw, Y = r*sinw, hier r = 5; Gesucht ist der Unbekannte Winkel w
Für
2 Geraden mit den Steigungen s1,s2, die normal aufeinander stehen
gilt
s1*s2 = -1, s2 = -1/s1 .
Die
Tangente steht Normal auf einen Radius des Winkels w,
die Steigung des Radius ist tanw, die der Tangente also -1/tanw,
ihre
Gleichung daher ( Punkt/Richtungs Form )
t(x) = Y - (x-X)/tanw;
Damit
t(x) durch den Punkt S = ( xs | ys ) = ( -1 | 7) geht,
muß
t(xs) = ys gelten, also Y - (xs - X)/tanw = ys
r*sinw - (xs - r*cosw)/tanw = ys
r*sinw - (xs - r*cosw)*cosw/sinw = ys; mult mit sinw
r*sin²w - xs*cosw + r*cos²w = ys*sinw; r*sin²w+r*cos²w = r
r - xs*cosw = ys*sinw
- Wurzel(1-sin²w) = ys*sinw - r
:
:
sinw = (r*ys ±xs*Wurzel(xs²+ys²-r²)/(xs²+ys²)
Bitte selbst nach und weiterrechnen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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