| Autor |
Beitrag |
    
kathrin (kathrin130885)
Neues Mitglied
Benutzername: kathrin130885
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 08:25: | 
|
Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=1/4x^2. Ihr Graph ist K.
a)Es seien S1(a/f(a)) und S2(b(f(b)) Punkte auf K. Welche Beziehung besteht zwischen a und b, wenn die Tangenten an K in S1 und S2 orthogonal sind?
b) Bestimmen sie die Punkte S1 und S2 so , dass die Tangenten in S1 und S2 orthogonal zueinander sind und die Strecke S1S2 parallel zur x-Achse ist.
Aufgabe 2:
Gegeben sind eine Funktion f mit f(x)=1/2x^2 sowie die Punkte P(0,5/?) und Q(2/?) auf dem Graphen von f. Welcher Punkt R zwischen P und Q auf dem Graphen von f hat von der Strecke PQ den größten Abstand d? Berechnen sie d. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 724
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 12:27: |
|
1)
damit Tangenten mit Steigungenen sa,sb normal zueinander sind, muß sb = -1/sa gelten
a)
f(x) = 1/(4x²); f'(x) = -1/(2x³)
x = a; f'(a) soll = -1/(f'(b)) sein
-1/(2a³) = -1/[-1/(2b³)] = 2b³
4*a³b³ = -1
(a*b)KubikWurzel(4) = -1 ist wohl die gesuchte "Beziehung"
w := KubikWurzel(4)
b)
Da
f(x) = -f(x) und für S1S2 parallel zur x-Achse f(a) = f(b)
sein muß
ist eigentlich vorweg bekannt, daß a = -b sein muß
(0) f(a) = f(b)
(1) b = -1/(w*a) aus (a)
(0) 1/(4a²) = 1/[4*(-1/(w*a))²]
4a² = 4/(w²a²); (a²)² = 1/w²
a² = 1/w
a = 1/KubikWurzel(2)
b = -1/(w*a) = -1/[w/KubikWurzel(2)]
b = -1/KubikWurzel(2)
------------------------------------------
2)
es sei p = 0,5, q=2, R = ( r | f(r)
Denke Dir PQ parallel zur und in die x-Achse gedreht,
der Kurvenbogen nach oben.
Dann
lautet Die Aufgabe, suche das Maximun der gedrehten Funktion
zwischen P und Q; und das liegt natürlich dort, wo die Tangente
parallel zur x-Achse ist. Für den Maximalen Abstand der original f(x)
von original PQ muß also auch der Punkt gesucht werden,
für
den die Tangente parallel zu PQ ist, also s = f'(r) = [f(q)-f(p)]/(q-p)
Daraus
bestimme r.
Um
d zu bestimmen bestimme den Fußpunkt einer Normalen zu PQ durch R;
die
Normale n(x) hat die Steigung -1/s,
also
die Gleichung {n(x) = f(r) - (x-r)/s
PQ}
die Gleichung PQ(x) = f(p) + (x-p)*s
der
Fußpunkt F = (x | PQ(x) ) liegt also
wo
n(x) = PQ(x)
Für
den Abstand d ist dann d² = (x - r)² + ( PQ(x) - f(r) )²
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 14:25: |
|
Hallo Kathrin,
wenn allgm. y=g(x)= ax + b und y=h(x)= cx + b zwei Geraden sind, die sich in (u|g(u)=h(u)) schneiden und dort senkrecht aufeinander stehen, so gilt a = -1/c (*)
( Zeichne für u und u+1 das Steigungsdreieck zu g und h, dann kommt wegen tan(90+ß) = -tan(ß) das Minuszeichen ins Spiel und An-/Gegenkathete sind bei g und h vertauscht --> Kehrwert - vielleicht machst Du Dir eine Zeichnung )
Zurück zur Ausgangsfunktion, deren Ableitung ist
f'(x) = -1/(2x^3),
so dass die Tangenten an K die Steigungen -1/(2a^3) bzw. -1/(2b^3) haben. Ausnutzen von (*) liefert die Beziehung -1 = 4a^3*b^3 (**)
womit nicht nur a), sondern auch die Aufgabe erledigt wäre, als es keine reellen Zahlen gibt, die (**) erfüllen
Wo steckt mein Fehler?
Teil b) der Aufgabe liefert die zusätzliche Bed. f(a) = f(b) (***) - waagrecht heisst ja, die 'y=f(x)-Werte' ändern sich nicht. Ausrechnen wegen (**) nicht möglich
Aufgabe 2 ist absolut abenteuerlich, als Du ad infinitum rechnen kannst. Daher nur eine Idee :
Es liegen P(0.5|2) und Q(2|0.125) auf K
Aufstellen der Geradengleichung y=g(x)=ax + b durch P, Q liefert y = 0.8x + 1.6d
Bezeichne F(f|g(f)) den Fusspunkt des Lotes durch R(r|f(r)) auf g(x), so gilt für den gesuchten Abstand d (Pythagoras) : sqrt[(f(r)-g(f))^2 + (f-r)^2] (*) - 'i.w. Quadrate der Differenzen von y- und x-Werten'
Nun steht die Gerade h durch F und R senkrecht (Lot!!) auf g, d.h. nach Aufgabe 1 : h(x)= -1.25x + b.
Zusätzlich liegt R auf dieser Geraden, d.h.
-1.25r + b = (2r)^(-2) --> b durch r ausgedrückt (**)
Weiterhin ist F Schnittpkt. der Geraden durch P und Q bzw. R und F, d.h.
0.8f + 1.6 = -1.25f + b --> f durch b ausgedrückt (***)
Wenn Du nun sukkessive (**) in (***) einsetzt und das Ergebnis in die Formel (*) müsste eine Funktion in Abhängigkeit von r herauskommen, deren Extremum zu bestimmen wäre
Gruß
|
|
