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peter lenzelbauer (peter15)
Neues Mitglied
Benutzername: peter15
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 21:33: | 
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Wer kann bei bei der Lösung helfen?
Einem Rechteck (l,B) soll das flächenkleiste gleichschnenkkelige Dreieck so umgeschreiben werden, dass dessen Basis c auf der Trägergeraden a) der Längel, b) der Breite b des Rechtecks liegt
Weiss nicht so recht, wie ich auf eine Lösung kommen soll. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 270
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 23:23: |
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Hi,
die Grundlinie des Dreieckes sei x und die Höhe y. Durch das in das Dreieck eingeschriebene gegebene Rechteck (Länge a, Breite b; weil l leicht mit 1 verwechselt wird) ergeben sich zwei ähnliche Dreiecke, eines ist das eigentliche gesuchte, das zweite ist das an der Spitze oberhalb des Rechteckes. Deswegen gilt die Proportion (Verhältnis Basis zu Höhe):
x : y = a : (y - b)
xy - bx = ay .. Nebenbedingung (NB)
y*(x-a) = bx
y = b*x/(x-a)
--------------
A = x*y/2 .. zu minimierende Fläche des Dreieckes, Hauptbedingung
darin y aus NB einsetzen --> Zielfunktion in x
A = x*[b*x/(x-a)]/2; (b/2 als konstant weglassen)
A(x) = x²/(x - a)
A '(x) = [2x*(x-a) - x²]/(x-a)²
A '(x) = [x² - 2ax]/(x-a)²
A '(x) = 0 -> x² - 2ax = 0
x*(x - 2a) = 0; x <> 0 (x ist Rechteckseite!)
x - 2a = 0
x = 2a
======
aus NB
y = b*x/(x-a) = 2b
==.............====
Das Dreieck hat eine doppelt so große Basis und Höhe wie die Seiten des Reckteckes.
Dessen Fläche ist A = 2ab, diese ist also doppelt so groß wie die des Rechteckes.
Zum Beweis des Minimums: Die 2. Ableitung beim Extremum x = 2a muss > 0 sein:
A'(x) = (x² - 2ax)/(x-a)²
A''(x) = [(2x - 2a)*(x-a)² - (x² - 2ax)*2*(x-a)]/(x-a)^4
A''(x) = [(2x - 2a)*(x-a) - 2(x² - 2ax)]/(x-a)³
A''(2a) = [2a*a - 0]/a³ = 2/a > 0 .. Minimum!
Gr
mYthos
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peter lenzelbauer (peter15)
Neues Mitglied
Benutzername: peter15
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 17:28: |
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danke mYthos für deine Hilfe, du hast mir wirklich geholfen.tschau |
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