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mongo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 21:17: | 
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gude
Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, welche die angegebenen Nullstellen hat und deren Graph durch den Punkt P geht.
a)n=3, -1,0 und 1 sind die Nullstellen, P=P(2/3)
b)n=3, -1,2 und 3 sind die Nullstellen, P=P(-2/5)
c)n=4, 0 und 2 sind doppelte Nullstellen, P=P(3/18)
d)n=4, -1 ist einfache und 3 ist dreifache Nullstelle, P=P(1/4)
Bitte mit Erklärung |
Andra
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. September, 2001 - 12:30: |
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Hallo Mongo,
ganzrationale Funktion heißt Polynom:
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ...
a) -1, 0 und 1 sind Nullstellen:
(x + 1) * x * (x - 1) sind die Linearfaktoren
x(x + 1)(x - 1) = x3 - x
Ciao, Andra |
mongo
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. September, 2001 - 13:57: |
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hi
kannst du das ein bisschen genauer erklären??? |
gerdm
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. September, 2001 - 18:29: |
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Aber Hallo !
Eine ganzrationale Funktion (=Polynom) 3.-ten Grades hat die Form f(x)=a3 x^3 +a2 x^2 +a1 x + a0.
Es sind also die vier Parameter a0,a1,a2,a3´zu bestimmen. Hierzu braucht man vier Gleichungen, also auch vier Punkte.
Z.B. a) f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=0, f(2)=3.
Daraus: -a3 +a2 -a1 +a0 =0
a0 =0
a3 +a2 +a1 +a0 =0
8a3 +4a2+2a1+a0 =0.
Daraus kann man die Parameter berechnen !!
Der Ansatz von Andra ist auch richtig:
Ist x=x0 eine Nullstelle ist f, dann lässt f schreiben als f(x)=(x-x0)*g(x), wobei g ein Polynom zweiten Grades ist.
Ist x=x0 eine doppelte [dreifache] Nullstelle, dann gilt f(x)=(x-x0)^2 *g(x) [bzw. f(x))=(x+x0)^3 *g(x) ], wobei g eine Gerade [bzw. Konstante] ist (falls f Polynom dritten Grades; ansonsten erhöhen sich die Exponenten !).
Also bei a): f(x)=(x-(-1))*(x-0)*(x-1)*g(x), wobei g eine knstante Funktion. Wegen 3=f(2)=3*2*1*g(x)=6*g(x) gilt g(x)=1/2.
Viel Spaß.
Gruß Gerd. |
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