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Martin Siudeja (Informatic)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 18:31: | 
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Hy Leute ich hab eine Aufageb an der ich nicht weiter komme, die Aufgabenstellung lautet:
Zeigen Sie durch Nachweis der Monotonie und der Beschränktheit, dass die Folge (an) konvergent ist. Stellen Sie eine Vermutung über ihren Grenzwert auf und bestätigen Sie diese.
Aufgabe: an= n/n^2+1
Mein Anfang des Monotoniebeweises:
n+1/(n+1)^2+1 / n/n^2+1 < 1
(n+1)*(n^2+1) / (n+1)^2+1*n < 1
n^3+n+n^2+2 / n^2+2n+2+n < 1
aber hier komme ich nicht weiter...
sofern das überhaupt sitmmt?
Das / bedeutet immer Bruchstrich.
Hoffe jamand kann mir helfen !
Martin! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 20:53: |
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Hallo Martin
Beh.: a(n)=n/n²+1 ist monoton fallend, d.h.
a(n+1)-a(n)<0
[(n+1)/((n+1)²+1)]-[n/n²+1]<0
[(n+1)(n²+1)-n((n+1)²+1)]/[((n+1)²+1)(n²+1)]<0
[n³+n²+n+1-n(n+1)²-n]/[(n²+2n+2)(n²+1)]<0
[n³+n²+1-n³-2n²-n]/[(n²+2n+2)(n²+1)]<0
[-n²-n+1]/[(n²+2n+2)(n²+1)]<0
Zähler ist für alle n negativ, der Nenner immer positiv. Folglich gilt die Behauptung.
Beh.: Folge ist beschränkt.
obere Schranke ist 1/2; untere 0
Bew: zu zeigen für alle n aus |N gilt
n/n²+1<=1/2
<=> 2n<=n²+1
<=> n²-2n+1>=0
<=> (n-1)²>=0 gilt da Quadrat
wegen n aus |N ist n/n²+1>=0 für alle n.
mfg Lerny |
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