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Beitrag |
    
Johannes
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 14:26: | 
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Hi !
Wie muss ich vorgehen um eine Formel für eine n-gliedrige Summe zu suchen(finden) ?
also...gegeben ist beispielsweise :
1+3+5+...+(2n-1)
Wie bekomm ich da jetzt die Formel raus ?
Danke im voraus
Johannes |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 16:28: |
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Hallo Johannes,
es gibt wohl keine allgemeine Methode, aber bei dieser Folge schon. Du schreibst einfach alle Folgeglieder auf:
1, 4, 9, 16, 25, ...
Wenn du es jetzt noch nicht "siehst" dann kannst du eventuell mehrfach die Differenzfolge bilden. Dazu rechnest du 4-1, 9-4, 16-9, 25-16 usw.:
3, 5, 7, 9, ...
Bildet man nocheinmal die Differenzfolge, so ergibt sich eine konstante Folge:
2, 2, 2, 2, ...
Das bedeutet, dass man die Folge mit einem Polynom zweiten Grades darstellen kann:
ax² + bx + c
Aber du hast die Lösung wahrscheinlich schon. Wenn man dann eine Vermutung hat, wie die Summe einfacher berechnet werden kann, sollte man sie noch mit der vollständigen Induktion beweisen.
Hoffe geholfen zu haben
Uwe |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 09:37: |
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Es gibt eine allgemeine Methode; da ich aber erst kürzlich davon erfahren habe und ich mich selbst noch nicht ganz eingelesen habe, kann ich nur die Grobzüge darstellen: Differenzengleichung.
Der Unterschied zwischen dem n+1-ten und dem n-ten Glied der Summe ist sn+1-sn=(2*n+1); für sn+1-sn schreibt man Dnsn und nennt ihn Differenzenoperator (vgl. Differenzialoperator; aber nicht verwechseln). Also Dnsn=(2*n+1). Nun bildet man die "unbestimmte Summe" über die ganze Gleichung: S Dnsn=sn=S (2*n+1). Um diese unbestimmte Summe bilden zu können braucht man einen ziemlichen Vorlauf an Erklärungen, damit man einige Regeln ableiten kann. Für dieses Problem interessant ist die Regel S na=na+1/(a+1)+C(n), S (f(n)+g(n))=S f(n)+S g(n) und S c*f(n)=c*S f(n); wobei c=const, f(n) und g(n) zwei Folgen sind und in etwa (es gibt was allgemeineres; das ist nur Spezialfall) na=n*(n-1)*...*(n-a+1) bedeutet und im Englischen als "n to the a falling" grob übersetzt "n bis zu den nächsten absteigenden a" heißt. C(n) ist eine Folge für die gilt: DnC(n)=0
Damit kann man die Summe bilden: S (2*n+1)=2*S n1+S n0=2*n2/2+n1/1+C(n)=n2+n1+C(n)=n*(n-1)+n+C(n)=n2+C(n)
nun muss man noch C(n) bestimmen; in der Regel kann man annehmen, dass C(n)=const (aber z.B. sin(n*p) wäre ein Kandidat, da Dnsin(n*p)=0). Dies findet man am besten durch einsetzen:s1=1=12+C(n) ® 1=12+C(n) ® 0=C(n)
Also gilt sn=n2 |
Rose
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 12:41: |
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Hallo Johannes !
Wie Uwe ja schon richtig bemerkt hat gibt es keine allgemeine Formel.
In dem von dir beschriebenen Fall liegt die Sache aber einfacher.
Es handelt sich um eine arithmetische Folge, das heißt : die Differenz zweier benachbarter Glieder ist konstant. Dann kann man die Summe ganz einfach bestimmen. Zu deinem Beispiel.
Wenn man das erste und das letzte Glied addiert erhält man das gleich, wie wenn man das zweite und das vorletzte addiert bzw das dritte und das drittletzte usw nämlich 2*n.
Nun muss man sich nurnoch überlegen wie viele solche Teilsummen es gibt. Es sind n/2.
=> S = (2*n)*(n/2) = n^2
allgemein S = (a1+an)*(n/2) |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 15:16: |
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Um Missverständnisse auszuschließen: Es handelt sich um eine arithmetische Folge der Summanden; die Summe selbst bildet eine arithmetische Reihe.
Die Methode, die ich vorgestellt habe liefert übrigens allgemein für jede Reihe eine Formel, für die die Folge der Summanden bekannt ist und diese unbestimmt sumierbar ist. Insbesondere kann sie auf jede Reihe angewandt werden, deren Summanden eine Folge bilden, die durch ein Polynom beschrieben wird.
Man hat zwar keine allgemeine Formel, aber einen allgemeinen Algorithmus, nachdem man eine geschlossene Darstellung der Summe erhalten kann. |
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