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Julia
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 11:08: |
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Könntet ihr mir erkären,warum eine Funktion 3. Grades immer einen Wendepunkt hat und warum dieser Wendepunkt auch Symetriezentrum des Graphen ist? Danke schon mal im Voraus. |
Armin Heise
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 11:20: |
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Hallo Julia, eine Funktion hat für die x einen Wendepunkt, für die x für die die zweite Ableitung = 0 und die 3. Ableitung ungleich 0 ist. Die 2. Ableitung einer Funktion 3. Grades ist eine Gerade und die 3. Ableitung eine Konstante ungleich 0. Jede Gerade die nicht parallel zur x - Achse istt hat eine Nullstelle und der entsprechende x - Wert gehört zu einem möglichen Wendepunkt. Setzt man den x - Wert, für den f'' = 0 ist in die 3. Ableitung ein, so ist das Resultat ungleich 0, also liegt wirklich ein Wendepunkt vor. |
Franz
| Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Februar, 2000 - 23:14: |
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Der Wendepunkt von f(x)=ax^3+bx^2+cx+d existiert im Normalfall a ungleich 0. Mit der Untersuchung des Graphen im Koordinatensystem, was den Wende- punkt als Ursprung hat, bin ich leider noch nicht fertig. |
Franz
| Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Februar, 2000 - 23:15: |
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Der Wendepunkt von f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ist xw=-b/3a (existiert also im Normalfall a0). Die Untersuchung der Punktsymmetrie des Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem mit dem Ursprung (xw, yw) habe ich noch nicht fertig. |
Franz
| Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Februar, 2000 - 23:19: |
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f(x)=ax^3+bx^2+cx+d hat für a ungleich 0 natür- lich einen Wendepunkt. Die vermutete Punktsymme- trie im dem Koordinatensystem, was den Wendepunkt als Ursprung hat, habe ich noch nicht beweisen können. |
Oliver
| Veröffentlicht am Montag, den 07. Februar, 2000 - 15:05: |
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Hallo Franz, den Beweis, das die Funktion f(x)=ax3+bx2+cx+d punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum xw|yw ist, führt man ganz einfach: Es sei xw der Wendepunkt. yw die Abzisse. Wie du weißt greift die Bedingung für Punktsymmetrie f(x)=-f(-x) nur dann, wenn f(x) auch durch den Ursprung verläuft. Also verschiebt man den Graph f(x)=ax3+bx2+cx+d wieder so, das er durch den Nullpunkt geht. Am charakterischtischen Verlauf ändert sich ja dadurch nichts. Will heißen: Ist der Graph symmetrisch, dann ändert die Achsentransformation nichts daran. Gesagt, getan: Liegt xw links von 0, dann subtrahieren wir xw von f(x). Entsprechend verfahren wir, wenn xw rechts von 0 liegt, allerdings addieren wir dann. Für yw ist das unbedeutend. Ist es über der Null, wird es abgezogen, unter der Null....was wohl? Konkret: f|(x)=a(x+xw)3+b(x+xw)2+c(x+xw)+d+yw Beachte die Vorzeichen von xw und yw. f|(x) heißt "verschoben". Der nun vorliegende Graph ist, einfach zu ersehen, punktsymmetrisch. Willst du noch die Symmetrie im ursprünglichen Symmetriezentrum xw|yw nachweisen, gilt: x = u + p y = v + q Dies führt jeden Punkt (x|y) im xy-Koordinatensystem in den Punkt (u|v) im uv-Koordinatensystem über. Punkt (P|q) wird dann das neue Symmetriezentrum. Hier: xw|yw(Koordinatentransformation) Hinweis: Du mußt natürlich nicht die Funktion zuerst in den Nullpunkt zurückverschieben. Wenn Du die Symmetrie im xwyw-System beweisen willst, führe nur die Koordinatentransformation durch! Viele Grüße! |
Franz
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2000 - 07:53: |
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Grüß Gott, Oliver! > f|(x)=a(x+xw)3+b(x+xw)2+c(x+xw)+d+yw y=y|+yw führt zu f|(x)=f|(x)-yw > Symmetrie im xwyw-System beweisen willst, führe nur > die Koordinatentransformation durch! Ich werde mich hüten: wegen der Rechnerei und zweitens, weil m.W. solche Transformationen nicht Schulstoff sind. Weil die Symmetrieeigenschaften geometrischer Fi- guren beziehungsweise Funktionsgraphen verschie- bungsunabhängig sind, genügt es, diejenigen Poly- nome dritten Grades zu untersuchen, welche ihren Wendepunkt im Ursprung haben. Damit (y=ax3+cx) ist die Punktsymmetrie offenkundig. Tschüß |
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