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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 19:58: | 
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Gibt es eine analytische Lösung der Gleichung
x*cos(x)=a
mit x als Variable und a als reeller Zahl (also keine Lösung mittels eines Näherungsverfahrens)? |
Reinhard Gruber
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 23:14: |
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Hallo
Das Newtonsche Näherunsverfahren wird dir wahrscheinlich ein Begriff sein. Wenn nicht, in jeder Formelsammlung oder in allen etwas ausführlicheren Mathe-Büchern wird diess Näherunsverfahren zur Nullenstellensuche beschrieben.
Du könnest also f(x) = x*cox(x)-a als die zu untersuchende Funktion nehmen und die Nullstellen suchen (f ist in einem Intervall [a,b] differenzierbar und a und b müssen so gewählt sein, daß in (a,b) mindestens eine Nullstelle existiert, damit sind die Voraussetzungen erfüllt). Dieses Verfahren hilft übrigens bei sehr vielen Gleichungen.
Reinhard |
Bodo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 23:18: |
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Hier das Newtonsche Näherungsverfahren:
Ciao, Bodo |
Bodo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 23:20: |
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Das habe ich dem Desktop Mathematik entnommen (Harri Deutsch Verlag)
Bodo |
Reinhard Gruber
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 23:28: |
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Hallo Bodo!
Danke für deine zusätzliche Erklärung. Ich habe da auch eine Frage an dich. Dieses "Desktop Mathematik" ist nicht zufällit im Internet erreichbar. Ich habe für Algorithmen, Verfahren oder ähnliches nur meinen guten alten Bartsch, Taschenbuch mathematischer Formeln und es ist oft schwer, definitionen abzuschreiben. Es wäre also ideal, wenn es soetwas wie den Bartsch online gäbe, wo ich nur links zu den entsprechenden Seiten legen bräuchte. Weißt du da gute Adressen?
Reinhard |
Adam Riese
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Februar, 2000 - 20:20: |
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Hi Reinhard und alle anderen, die unser altes Mathe-Online-Lehrbuch vermissen, den Desktop Mathematik.
Der Desktop Mathematik ist das beste Online-Lehrbuch, das ich im Netz gefunden habe. Die Online-Version, auf die wir vor ein paar Monaten gelinkt hatten, war leider eine Raubkopie und wurde entfernt.
Der Desktop Mathematik ist von Prof. Stöcker, herausgegeben vom Harri-Deutsch-Verlag und z.B. hier zu kaufen bzw. näheres zu lesen:
http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/3817115733/zahlreidematheha
Aber wir haben Kontakt mit dem Harri-Deutsch-Verlag aufgenommen, um eine Online-Version für ZahlReich zu erhalten.
Aller Voraussicht nach wird dies dann für alle mit dem Benutzerkonto verwendbar werden. Wer's noch nicht hat (bietet ja auch Vorteile wie e-mail-Benachrichtigung und ...) kann es sich ja kostenlos holen.
Der Plan ist, daß wir für alle registrierten User dann eine Gruppenlizenz kaufen. Finanzieren werden wir das über einen Sponsor (die hübschen Banner, die ihr vielleicht schon gesehen habt), sodaß keine Kosten von den Benutzern zu tragen sind.
Ok, das zum Desktop-Mathematik.
Adam
Nachtrag: Das Online-Mathebuch ist jetzt erreichbar unter
http://www.zahlreich.de/mathebuch
Solltest Du bereits das Zugangspasswort kennen, dann kannst Du direkt über
http://www.zahlreich.de/desktop_mathe
einsteigen. |
Franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Februar, 2000 - 23:24: |
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Um die Fragestellung zu wiederholen:
gibt es eine analytische Lösuung? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2000 - 00:50: |
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nein, gibt es nicht. |
Franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2000 - 08:25: |
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Warum nicht? |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Februar, 2000 - 17:40: |
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Hallo Franz,
Weil trigonometrische Funktionen zu den transzendenten Funktionen gehören. Diese kann man nicht durch algebraische Terme ausdrücken.
Schon die einfache Funktion cos(x) kann man im Allgemeinen nicht mit algebraischen Termen schreiben.
Deshalb hat man für die Winkelfunktionen eigene Zeichen erfinden müssen (sin, cos, usw). Man kann sie nur angenähert ermitteln (mit Tabellen, unendlichen Reihen, Taschenrechnern usw).
Genaue Werte nur für Spezialfälle z.B. cos(60°)=½
Deine Gleichung hat für den Spezialfall a=0 ebenfalls eine algebraische Lösung. x=0
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Romina Schaffrath (Romina)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 14:07: |
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Könnte mir bitte einer das Newtonsche Näherungs Verfahren ohne Fremdwörter erklären. Muss darüber morgen ein Kurzreferat halten!!!!!!! Bitte brauch eure Hilfe!!!! |
Romina Schaffrath (Romina)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 14:11: |
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Könnte mir bitte einer das Newtonsche Näherungs Verfahren ohne Fremdwörter erklären. Muss darüber morgen ein Kurzreferat halten .Bitte brauch eure Hilfe |
Romina Schaffrath (Romina)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 14:11: |
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Könnte mir bitte einer das Newtonsche Näherungs Verfahren ohne Fremdwörter erklären. Muss darüber morgen ein Kurzreferat halten .Bitte brauch eure Hilfe |
Angua321
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 15:32: |
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Hallo Romina, ich versuch es mal ..
Gleichungen höheren Grades kann man mit sogenannten Näherungsverfahren lösen, z.B mit der Regula falsi (Sehnenverfahren )oder dem Newtonschen Näherungsverfahren(Tangentenverfahren).
Stell Dir eine Funktion f vor, bei der Du den Schnittpunkt P mit der x-Achse bestimmen sollst.
Leider weiss ich nicht, wie ich hier eine Zeichnung einfügen kann, daher hoffe ich auf deine Vorstellungskraft ;-)
Die Funktion f (stelle sie dir in meinem Beispiel als einen Bogen vor, der zur y-Achse hin geöffnet ist )schneidet die x-Achse im Punkt P. Als Ausgangspunkt nimmst Du Dir jetzt einen Punkt P1 der Funktion f mit den Koordinaten (x1/y1), der möglichst nahe an der x-Achse liegt . Betrachte jetzt die Tangente in diesem Punkt P1...Sie schneidet die x-Achse in einem weiteren Punkt B, der rechts von P liegt. Verbinde den von Dir gewählten Punkt P1 mit der x-Achse (ergibt den Punkt A)und Du erhältst ein Dreieck BAP1 .. Soweit ok ??
Nu wirds etwas komplizierter :
Die Bestimmung der Steigung des Winkels alpha1 (Winkel zwischen x-Achse und der Tangente durch den Punkt P1 )aus dem Dreieck BAP1 (), ergibt die Näherungslösung x2 . Diese berechnet man wie folgt mit Tangens .. :
tan alpha 1 = y1 / (x1-x2)
Für tan alpha 1 kann die erste Ableitung eingesetzt werden :
tan alpha 1 = f(x1)/ (x1-x2)
tan alpha 1 = f'(x1)
Diese Gleichung stellen wir jetzt um :
x1 - x2 = f(x1)/f'(x1)
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)
---> Verfahren nach Newton !!
Durch Wiederholung erreichst Du eine weitere Annäherung ...
Beispiel :
0 = x³ - x + 1,5
y = x3 - x + 1,5
y' = 3x² - 1
für x1 = -1,4 ----> y1 = + 0,156 = f(x)
y'1 = = 3*(-1,4)² -1 = + 4,88 = f'(x)
x2 = x1 - y1/y'1
x2 = -1,4 - (0,156 /4,88)
x2 = - 1,43197
Der Punkt P1 (-1,4/0,156), nahe der x-Achse gelegen, wird in die Näherungsgleichung eingesetzt.
Probe :
y = - 1,43197³ + 1,43197 + 1,5 = - 0,0043
Weitere Annnäherung :
für x2 = -1,43197 ---> y2 = - 0,0043
y'2 = 3*(-1,43197)² - 1 = 5,1516
x3 = x2 - (y2/y'2)
x3 = -1,43197 - (-0,0043/5,1516)
x3 = -1,43114
Probe :
y = -1,43114³ + 1,43114 + 1,5
y = 0,000042 = 0
Also schon ziemlich nah dran ;-)
....
2. Beispiel
Löse die Gleichung : 0 = x(hoch 4)- 2x³ - x²
mit Hilfe des obigen Verfahrens !
Lösung :
0 = x(hoch 4)-2x³ - x²
y = x(hoch 4)-2x³ - x²
y' = 4x³ -6x² -2x
1. Wertetafel :
x --> y
0 --> 0
0,1-> -0,012
0,2-> -0,054
0,3-> -0,136
0,4-> -0,262
0,5-> -0,438
1,0-> -2,0
1,5-> -3,938
2,0-> -4,0
2,5-> + 1,563
3,0-> +18,0
--------------
2. Wertetafel :
x --> y
0 --> 0
-0,1-> -0,008
-0,2-> -0,022
-0,3-> - 0,028
-0,4-> - 0,006
-0,5-> + 0,63
-1,0-> + 2,00
-1,5-> + 9,563
-2,0-> + 28,0
-2,5-> + 64,06
-3,0-> + 126
--------------------------------------
Jetzt guck ma genau hin, aus diesen Wertetafeln lassen sich zwei reelle Lösungen erkennen, sie liegen :
1. zwischen x = 2,0 und x= 2,5
2. zwischen x = -0,4 und x = -0,5
für
x1 = 2,5 --> y1 = 1,563 =f(x)
y'1= 4 * 2,5³ - 6*2,5² - 2*2,5 = 20 = f'(x)
x2 = x1 - (y1/y'1)
x2 = 2,5 - (1,563/20)
x2 = 2,42185
Probe :
y2 = 2,42185(hoch 4) - 2*2,42185³ - 2,42185²
y2 = 0,127029 > 0, also weitere Annäherung :
für
x2 = 2,42185 ---> y2 = 0,127029
y'2 = 4*2,42185³ - 6*2,42185² - 2*2,42185
y'2 = 16,784219
x3 = x2 - (y2/y'2)
x3 = 2,42185 - (0,127029/16,784219)
x3 = 2,41428
Probe :
y3 = 2,41428(hoch 4)- 2*2,41428³ - 2,41428²
y3 = 0,0011 = 0
-----
für
x4 = -0,40 ----> y4 = -0,006
y'4 = 4*(-0,40)³ - 6*(-0,4)² - 2*(-0,4)
y'4 = -0,416
x5 = x4 - (y4/y'4)
x5 = -0,40 - (-0,006/-0,416) = - 0,414423
Probe :
y5 = -0,414423(hoch 4) - 2*(-0,414423)³-
(-0,414423)² = 0,0001 = 0
-----------------------------------------
Beide Werte, x3 = 2,41428 sowie x5 = - 0,414423 bringen eine gute Annäherung an die Lösung der Gleichung 0 = x(hoch 4) -2x³ - x²
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Uff, nu is erstma Schluss *Finger ausschüttel
Hoffentlich hilft es Dir ;-) |
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