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Beitrag |
    
Cradle
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 23:12: | 
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Hallo, es geht um die Grenzwerte zweier Ausdrücke, die in der Nachhilfe besprochen werden müssen:
1) lim x®¥ (Ö(x+1) - Ö(x) )
und
2) lim x®0 x*sin(1/x)
Bei 1) habe ich folgendes gemacht:
lim x®¥ (Ö(x+1) - Ö(x) )
= lim x®¥ ([Ö(x+1) - Ö(x) ]*[Ö(x+1) + Ö(x) ] / [Ö(x+1) + Ö(x) ])
= lim x®¥ ([(x+1) - x ] / [Ö(x+1) + Ö(x) ])
= lim x®¥ ( 1 / [Ö(x+1) + Ö(x) ])
= 0, da der Nenner gegen ¥ geht.
Würdet ihr das auch so machen, oder geht das kürzer / eleganter / einfacher ?
Seht ihr bei 2) eine Möglichkeit, das auch ohne Bernoulli / de'L'Hospital zu lösen, da es noch nicht besprochen wurde? |
Cradle
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 10:55: |
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Ich habe mich bei Aufgabe 2) vertan.
Wenn man x zu 1/y macht, habe ich zuerst nicht daran gedacht, x->0 zu y->¥ zu machen.
Ich habe erst lim y->0 hingeschrieben. Dafür wäre dann meiner (beschränkten) Erfahrung nach Bernoulli / de'L'Hospital notwendig gewesen. Oder ginge das auch noch anders?
Natürlich muss es richtig heißen:
lim x->0 x*sin(1/x)
= lim y->¥ (1/y)*sin(y)
= 0, da 1/y gegen 0 geht und |sin(y)| <= 1 ist.
Reicht die Argumentation? |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 11:04: |
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Hallo Cradle,
limx=>0 x*sin(1/x)
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Wir setzen X = 1/x und suchen den Grenzwert
limX=>oo sin(X)/X
Es ist |sin(X)/X| <= 1/X für alle X aus R
weil ja |sin(X)| <= 1
Daher für X gegen oo:
|sin(oo)/oo| <= 1/oo = 0 Schreibweise natürlich symbolisch!
also: limx=>0 x*sin(1/x) = limX=>oo sin(X)/X = 0
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 11:15: |
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Hallo Cradle,
Ich habe deine Lösung zu spät gesehen. Sie gleicht fast der meinigen.
Die Argumentation: 1/y = 0 und
|sin(y)|<= 1 genügt nicht ganz weil ja
beide Faktoren gleichzeitig null sein könnten!
Du musst sagen:
|sin(y)/y| <= 1/y
Die rechte Seit geht gegen null, also auch die linke Seite.
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 11:25: |
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Hallo Cradle nochmal,
Ich glaube, da hab ich Unsinn geschrieben:
Wenn beide Faktoren null sind, so ist das Resultat erst recht null!
Deine Argumentation ist also völlig RICHTIG!
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Cradle
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 21:59: |
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Hallo, vielen Dank für die viele Mühe, die war echt nicht vergebens, es ist interessant, noch Alternativen zu sehen, auf die Variante mit den Betragsstrichen um sin(x)/x bin ich nicht gekommen.
Nr. 1 ist also ok, d.h.man kann sie nicht kürzer lösen?
und wenn ich bei Nr. 2
gegeben hätte:
limx®0(sin(x)/x), wäre meine Vermutung dann richtig, dass das ohne Bernoulli / de'L'Hospital nicht zu lösen ist? |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 22:41: |
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Hallo Cradle,
Jeder Grenzwert, der sich mit de l'Hospital ermitteln lässt, lässt sich auch ohne diese Methode ermitteln!
(In französischen Schulen zum Beispiel ist de l'Hospital "verboten" - weil zu leicht).
Für limx=0 sin(x)/x brauchst du nur wieder y=1/x zu setzen und limy=oo zu suchen!
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Cradle
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 17:18: |
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Hallo Fern, da komme ich nicht mit.
Wenn ich x durch 1/y ersetze, gilt
limx®0 (sin(x)/x)
= limy®¥( sin(1/y)/(1/y) )
= limy®¥( y*sin(1/y) )
Jetzt habe ich ein Produkt aus einem y, das gegen ¥ geht und einem sin(1/y), das gegen 0 geht. Also
"¥ * 0", und das muss doch nicht gleich 1 sein, oder?
Bernoulli / de'L'Hospital sagt doch:
limx®0 (sin(x)/x)
= limx®0 (cos(x)/1)
= 1 |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 20:23: |
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Hallo Cradle,
Tut mir leid, da habe ich dich (ungewollt) in die Irre geführt.
limx=0 sin(x)/x
Es gilt für x>=0:
Es ist: tan(x) >= x >= sin(x) wenn du damit Schwierigkeiten hast, so melde dich nochmal!
Wir dividieren durch sin(x):
1/cos(x) >= x/sin(x) >= 1
und nehmen den Kehrwert:
cos(x) <= sin(x)/x <= 1
jetzt bilden wir den Grenzwert x gegen 0:
limx=0cos(x) = 1 <= limx=0 sin(x)/x <= 1
Also müssen die Gleichheitszeichen gelten:
1 = limx=0 sin(x)/x = 1
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Cradle
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 21:37: |
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Hallo, danke für das Aufzeigen dieser Richtung.
Allerdings habe ich in der Tat Schwierigkeiten mit der Ungleichung, die ich lieber in der Form
tan(x) > x > sin(x) schreiben würde mit Gültigkeit für p/2 > x > 0, da ich den Kehrwert von x/sin(x) gar nicht bilden dürfte, wenn x=0 wäre.
Damit kann ich dann nur nachvollziehen, dass gelten muss:
1/cos(x) > x/sin(x) > 1 und nach Kehrwertbildung:
cos(x) < sin(x)/x < 1
lässt man nun x gegen 0 streben, kann man dann auch noch sagen, dass sin(x)/x zwischen cos(0)=1 und 1 liegen muss, oder hat man sogar einen Widerspruch konstruiert, weil ja eigentlich dann so etwas wie
1 < a < 1 da steht? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. September, 2001 - 08:33: |
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Hallo Cradle,
Ich hab jetzt mal in Büchern nachgesehen:
Es ist richtig, dass man die Ungleichung:
tan(x) > x > sin(x) schreiben soll mit 0<x<p/2
obwohl ich ein Buch gefunden habe
mit tan(x) >= x >= sin(x), also mit dem gleichen Fehler, den ich gemacht habe.
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Man bestimmt dann den Grenzwert von rechts, also x ® 0+ und muss noch zeigen, dass der Grenzwert von links, also x® 0- gleich ist.
Dies kann man entweder für negative x genauso durchrechnen oder dadurch erkennen, dass sin(x)/x eine gerade Funktion ist.
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Die Grenzwertbestimmung basiert auf folgendem Satz (squeeze theorem):
Falls für drei Funktionen f(x), g(x), h(x) gilt:
h(x) £ f(x) £ g(x) für x ¹ a
und
limx®a h(x) = b
und
limx®a g(x) = b
dann ist auch: limx®a f(x) = b
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In unserem Fall entspricht:
h(x) = cos(x)
g(x) = 1
f(x) = sin(x)/x
und es gilt: cos(x) < sin(x)/x < 1
limx®0+ cos(x) = 1
limx®0+ 1 = 1
also auch: limx®0+ sin(x)/x = 1
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Ebenso: limx®0-sin(x)/x = 1
Daher:
limx®0 sin(x)/x = 1
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Gruß, Fern |
Cradle
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 21:45: |
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Jetzt habe ich es doch noch verstanden.
Den Satz "Jeder Grenzwert, der sich mit de l'Hospital ermitteln lässt, lässt sich auch ohne diese Methode ermitteln." werde ich mir jedenfalls merken.
Danke, Fern.
Gruß, Cradle |
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