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Beitrag |
    
juliane
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 16:40: | 
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Diese Teilbarkeit soll ich nachweisen mit der vollständigen Induktion.
(2^3^n)+ 1
-----------------
3^(n+1) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 18:11: |
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Hallo Juliane,
ich mach mal den Anfang:
n=1: 2(31)+1 = 23 + 1= 8 + 1 = 9
und 31+1 = 3² = 9
Und da 9 ein Teiler von 9 ist, gilt die Behauptung für n=1.
Und für n=2:
2(32)+1 = 29 + 1= 513
und 32+1 = 3³ = 27
Und 27 ist ein Teiler von 513. Ok.
Nun allgemein n->n+1:
2(3n+1) + 1 = 2(3 * 3n) + 1
= [2(3n)]3 + 1
= [2(3n)]3 + 1
[Achtung, Trick!]
= [2(3n)+1]3 - 3*[2(3n)]² - 3*2(3n) -1 + 1
Was sieht man: Nach Induktionsvoraussetzung ist 2(3n)durch 3n+1 teilbar.
alle Summanden Summand dieser schlimmen Summe sind sicherlich durch 3n+2 teilbar.
Kannst Du das sehen? Auf jeden Fall darfst Du nicht versuchen diesen letzten Ausdruck umzuformen. So wie er jetzt da steht ist er optimal.
Gruß
Matroid |
Juliane
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 19:03: |
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Frage: Nach Induktionsvoraussetzung ist doch
(2^3^n) +1 durch 3^n+1 teilbar und nicht 2^3^n durch 3^(n+1) teilbar ? |
Juliane
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 19:12: |
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Danke erstmal für die Lösung!!!!!!
Ich kann bei der Stelle wo sie geschrieben haben
[Achtung,Trick!] leider nicht ganz folgen könnten sie mir die Zwischenschritte aufschreiben wenn es ihnen nicht zu viel Arbeit macht. Es wäre sehr nett. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 19:39: |
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Erste Frage: Die Behauptung sagt, daß der obere Ausdruck durch 3n+1 teilbar ist. Das habe ich richtig gelesen.
Zweite Frage:
Die Induktionsvoraussetzung für den Induktionsschritt lautet ausgeschrieben:
2 3n + 1 ist durch 3n+1 teilbar.
In der Induktionsbehauptung steht nun
2 3n+1 + 1 ist durch 3n+2 teilbar!
Durch Anwendung von Potenzrechenregeln forme ich um:
2 3n3 + 1
= [2 3n ]3 + 1
Um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können, brauche ich statt 2 3n aber 2 3n + 1
Darum füge ich in der eckigen Klammer + 1 - 1 hinzu (das ist ja Null).
= [2 3n + 1 - 1]3 + 1
Dann klammere ich
= [(2 3n + 1) - 1]3 + 1
und bilde die dritte Potenz nach der Regel:
(a - 1)3 = a³ - 3a² + 3a - 1
[hier steht a für (2 3n + 1)]
=>
[(2 3n + 1)]³ - 3 * [2 3n + 1)]² + 3 * (2 3n + 1) -1 + 1
[(2 3n + 1)]³ - 3 * [2 3n + 1)]² + 3 * (2 3n + 1)
Der dritte Summand ist 3 * (2 3n + 1)
Darin ist 2 3n + 1 enthalten und das ist nach Induktionsvoraussetzung durch 3n+1 teilbar. Also ist 3 * (2 3n + 1 durch eine 3 mehr teilbar, das sind dann 3n+2.
Auch die anderen beiden Summanden sind mindestens durch 3n+2 teilbar. |
Juliane
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 16:46: |
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Hilfe!
Mein Lehrer hat gesagt, das das nicht reicht.Ich soll weiter umformen bis da am Ende steht
= 3^(n+2)*k2 |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 02:23: |
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Ich greife mal den Gedanken von Matroid nochmal auf und setze ihn etwas anders(vielleicht für Dich verständlicher) um :
Beh. : 2^(3n)+1=3n+1*kn
Bew : n=1 siehe Matroid
n->n+1
2^(3n+1)+1 = 2^(3*3n)+1 = [2^(3n)]3+1
nach Induktionsvoraussetzung ist das aber
[3n+1*kn-1]3+1
Jetzt rechnet man die Klammer aus
33n+3*kn3-3*32n+2kn2+3*3n+1*kn-1+1
und klammert aus
3n+2(32n+1kn3-3n+1kn2+kn) |
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