| Autor |
Beitrag |
    
Conrad
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Februar, 2000 - 20:50: | 
|
Die zu lösende Aufgabe lautet:
A.) Berechne vom Schaubild der Funktion f(x)=(1/2)x^3-(1/8)x^4 bzw. g(x)=(1/3)x^4-(8/3)x^3+6x^2 den Extrempunkt und die Wendepunkte W1 und W2!
B.) Die Wendetangenten und die Gerade (W1W2) bestimmen ein Dreieck. Bestimme die Innenwinkel und den Flächeninhalt des Dreiecks!
C.) Das Schaubild von f schneidet aus der Tangente im Wendepunkt mit Xw2)eine Strecke der Länge a aus. Berechne a!
D.) Die Gerade (W1W2) schneidet das Schaubild in S1 und S2. Ermittle das Verhältnis W1W2:S1S2!
Ich hoffe jemand kann diese harte Nuss knacken!
Antworten und Erklärungen können auch an CSeyfert@gmx.net gesendet werden! Schon mal ein Danke im vorraus!!
Conrad |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Februar, 2000 - 22:44: |
|
Hallo Conrad,
1. Beispiel
============
f(x)=x³/2-x4/8
f'=3x²/2-x³/2
f"=3x-3x²/2
Extrema: f'=0 ergibt x={0,0,3}
Maximum bei (3, 27/8)
Wendepunkte: f"=0 ergibt x={0,2}
W1=(0,0)
W2=(2,2)
Tangente durch W2: y=2x-2
Tangente durch W1: y=0
Gerade durch W1 und W2: y=x
Dreieckseckpunkte: (0,0) (0,1) (2,2)
Fläche = 1
=====================================
Der Rest ist einfach.
===================
Das zweite Beispiel ebenso rechnen.
 |
Conrad
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 15:12: |
|
Herzlichen Danke für die ferne Nachricht!
Ich hab nur noch ein kleines Problemchen! Die Aufgaben a und b hatte ich zum Zeitpunkt des Erhaltens deiner Mail schon errechnet gehabt, und freue mich die selbe Ergebnisse gefunden zu haben. Aber genau an der Stelle (sprich Aufgabe c und d), die du so einfach nennst, fehlt mir der Denkanstoß! Also bitte, helf mir weiter! Ich brauch' das bis spätestens Montag!
Danke!
Conrad |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 19:24: |
|
Hallo Conrad,
Na vielleicht ist es doch nicht so leicht wie ich dachte.
Der Satz der Frage C) ist etwas verwirrend!
Ich interpretiere ihn dahingehend, dass die Strecke a von W2 nach P gesucht ist.
=============================
Zuerst aber mal Frage D)
Wir suchen die Schnittpunkte von f(x) mit der Geraden durch W1 und W2.
Diese Gerade hat die Gleichung y=x
x³/2-x4/8=x
-2x4+8x³-16x=0
Diese Gleichng gilt es zu lösen!
Wir kennen 2 Lösungen: x=0 und x=2
Daher kann man die Gleichung durch die Faktoren x und (x-2) dividieren.
-2x4+8x³-16x div. durch (x)(x-2) ergibt:
x²-2x-4=0
Quadratische Gleichung mit Lösung x=1±W(5)
(W(5) heißt Wurzel aus 5)
f(1+W(5))=1+W(5)
f(1-W(5))=1-W(5)
So dass die gesuchten Schnittpunkte sind:
S1 = (1-W(5), 1-W(5))
S2 = (1+W(5), 1+W(5))
================================
Zurück zur Frage C)
Gleichung der Tangente in W2 war: y=2x-2
Schnittpunkt P ergibt sich aus:
f(x)=2x-2
dies ist: -x4+4x³-16x+16=0
wobei wieder x=2 als Lösung bekannt ist.
Der Schnittpunkt W2 muss ein Dreifachpunkt sein, wir können also durch den Faktor (x-2)³ dividieren. (Oder 3mal durch (x-2)).
-x4+4x³-16x+16=0 3mal durch (x-2) dividiert ergibt:
-x-2=0
also x=-2
f(-2)=-6
und der Punkt P hat die Koordinaten
P=(-2, -6)
============
Jetzt ist es aber wirklich leicht, die gesuchten Abstände zu ermitteln.
 |
Conrad
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 15:37: |
|
Bei Aufgabe C ist ein Fehler unterlaufen!
Es heißt:
c.)
Das Schaubild von f schneidet aus der Tangente im Wendepunkt mit Xw<1 (Xw kleiner 1)eine Strecke der Länge a aus!
Conrad
Kein Wunder, das die für Verwirrungen sorgte. Was ist mit Xw<1 gemeint? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 16:19: |
|
Hallo Conrad,
Da bin ich mit meinem Latein zu Ende.
Es gibt in der Aufgabe 2 Wendepunkte: W1 und W2, daher auch 2 "Tangenten im Wendepunkt". Ich habe angenommen es handelt sich bei der Frage C) um die Tangente im Punkte W2 (dies ist aber wie gesagt nicht klar).
Weiters bezeichnet man normalerweise bestimmte x-Werte mit Indizes, z.B. den x-Wert des Punktes W2
würde ich mit xW2 bezeichnen.
Hier wird plötzlich von Xw2 gesprochen (und du nennst es jetzt Xw).
Es gibt in der Aufgabe weder einen Punkt w noch einen w2 noch eine Variable X.
Vielleicht muss man lesen "Tangente im Wendedepunkt für den x kleiner 1 ist". Dies wäre dann die horizontale Tangente und a ist die Strecke von W1 nach dem Punkt x=4 auf der x-Achse. Dazu müsste man die Nullstellen von f untersuchen (ob es wirklich, wie es auf dem Diagramm aussieht, bei x=4 eine Nullstelle gibt). |
Hendrik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 14:09: |
|
Kann das jemand lösen?
Beweise:
Das Schaubild der allgemeinen ganzrationalen Funktion 3.Grades ist stets symmetrisch zum Wendepunkt! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 16:05: |
|
Hi Hendrik
Gegeben sei die kubische Funktion f(x) = a x^3 + b x^2 +c x + d (a nicht null)
Es wird: f '(x) = 3 a x^2 + 2 b x + c ,
f ''(x) = 6ax + 2b,
f '''(x) = 6a
Aus f ''(x) = o gewinnen wir als x -Kooerdinate des Wendepunktes :
x = x1 = - b / (3a), weil a nicht null ist , ferner ist f ''' (x1) = 6a von null verschieden; alles o.k. Es liegt genau ein Wendepunkt vor mit folgenden Koordinaten
x1 = - b / (3a) , y1 = f(x1) = 2* b ^3 / (27a^2) - b*c / (3a) + d .
Jetzt führen wir ein neues Koordinatensystem ein ,das aus dem alten durch
eine Parallelverschiebung hervorgeht ; der neue Nullpunkt soll im Wendepunkt liegen.
Für die neuen Koordinaten x' und y' irgend eines Punktes mit den alten Koordinaten x , y gilt dann:
x = x' + x1 , y = y' + y1.
Die Gleichung der Kurve bezüglich des alten Systems , y = f(x), lautet somit in bezug auf das neue System (Einsetzungsübung):
y'+ 2 b^3 / (27a^2) - b*c / (3a) + d = a (x' - b / (3a)) ^3 + b(x' - b / (3a)) ^ 2 +c (x' - b / (3a)) + d ,
vereinfacht: y ' = a * x' ^3 + ( c - b ^ 2 / (3a))* x'
In dieser transformierten Gleichung kommen nur ungerade Potenzen in x' vor, d.h. die Kurve ist bezüglich des neuen Nullpunktes, des Wendepunktes also,
zentralsymmetrisch,quod erat demonstrandum
Gruss H.R. |
Hendrik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 21:14: |
|
Vielen vielen Dank für die Antwort! |
Jacqueline Bartelmus (Jibi)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 15:27: |
|
Hallo!!!
Und zwar bin ich gerade in der 11.Klasse eines Gymnasiums und habe von Mathe absolut keine ahnung!!!
Ich habe da eine Aufgabe,die ich absolut nicht verstehe....
BITTE helft mir schnell....
A(0/0) B(9/1) C(0//9)
Berechnen Sie
a.) Seitenlängen
b.) Innenwinkel
c.) Mittelpunkte der Seiten
d.) Gleichung der Mittelsenkrechten
e.) Gemeinsamer Punkt alle Mittelsenkrechten |
Kai
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 23:29: |
|
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/5005.html |
|
