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Beitrag |
    
Daniel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. September, 2001 - 17:05: | 
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Hallo,
Ich hjabe ein problem:
Bei der auf gabe: Für welche natürlichen zahlen x
gilt: x^3+4^x-x-1 = prim
Ich muss beweisen dass x^3+4^x-x-1 >= 2 nicht prim ist.
gruss
Daniel |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. September, 2001 - 22:55: |
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Zeige per Induktion : 3 teilt n³+4n-n-1
n=1 : 1+4-1-1=3
n->n+1
(n+1)³+4n+1-(n+1)-1
=n³+3n²+3n+1+4n+1-n-1-1
=n³+3n²+3n+4n+1-n-1
=n³+4n-n-1-4n+3n²+3n+4n+1
=n³+4n-n-1+3n²+3n+4n+1-4n
=n³+4n-n-1+3n²+3n+(4-1)4n
Alle vier Terme sind durch drei teilbar,also auch die gesamte Summe |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 11:22: |
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Zeige außerdem, dass x^3 + 4^x - x - 1 > 3 wenn x > 2. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 11:23: |
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Zeige außerdem, dass x^3 + 4^x - x - 1 > 3 wenn x >= 2. |
Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 11:29: |
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n->n+1 was hart dieser Aausdruck zu bedeuten n wird zu n+1? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 11:39: |
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Daniel, kennst du das Prinzip der "vollständigen Induktion"? |
Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 11:47: |
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eigentlich nicht, hab das wort noch nie gehört.
bzw. ich erriner mich nicht mehr daran |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 12:00: |
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Also das geht so:
Nimm an, du hast irgendeine Menge M von natürlichen Zahlen. Von dieser Menge weißt du:
1) 1 ist in M enthalten
2) wenn M eine Zahl n enthält, dann enthält sie auch n+1.
Dann gilt:
M ist gleich (und nicht nur eine Teilmenge) der Menge der natürlichen Zahlen.
Bei Ingo war M = {n aus N | 3 teilt n^3 + 4^n - n - 1}
Er hat zunächst nachgewiesen, dass 1 in M liegt und dann den so genannten "Induktionsschritt" von n auf n+1 gemacht.
P.S.: Du gehst in Klasse 11? |
habac
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 12:02: |
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Vielleicht probierst Du es mit Faktorisieren:
x3 + 4x - x - 1=
x3 - x + 4x - 1 =
x(x+1)(x-1) + (2x - 1)(2x + 1)
Der erste Summand ist das Produkt von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen, also duch 3 teilbar; der zweite das Produkt von 2 durch eine gerade Zahl getrennten ungeraden Zahlen. Da 2x nicht durch 3 teilbar ist, ist es eine der beiden ungeraden Zahlen. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 12:05: |
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Ja, das ist auch sehr ellegant. |
Daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 12:35: |
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Zaph, jo ich gehe in klasse 11,
und mir ist klar, dass mir paar grundlegende mathematische Kenntnisse fehlen.
hab ich das richtig verstanden: es wurde an n=1 gezeigt, dass das ergebniss durch 3 telbar ist, dass wurde nun an n+1 (der unmittelbar darauf folgende zahl) aufgezeigt.
Folglich gilt für alle elemente der Menge M die auf n+1 folgen dass sie durch 3 teilbar sind.
Oder habe ich da etwasmiss verstanden`? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 12:52: |
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Bei uns war "vollständige Induktion" erst Stoff der 11. Klasse. Muss also nicht unbedingt heißen, dass du etwas verpasst hast.
Setze der Einfachheit f(n) = n^3 + 4^n - n - 1
Ingo hat zuerst gezeigt, dass 3 ein Teiler von f(1) ist.
Dann hat er vorausgesetzt, dass für ein bestimmtes n bekannt ist, das 3 ein Teiler von f(n) ist.
Er hat dann gerechnet:
f(n+1) = f(n) + 3 * (n^2 + n + 4^n)
Hieraus hat er dann gefolgert, dass 3 auch ein Teiler von f(n+1) sein muss, denn 3 teilt ja beide Summanden.
Also, 3 teilt f(1) und aus "3 teilt f(n)" folgt "3 teilt f(n+1)".
Somit teilt 3 jedes f(n). |
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