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Sin (7x) = ...

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Pascal Rolli (Prolli)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 16:25:   Beitrag drucken

Man zeige, dass gilt:

sin 7x = 7(sin x) - 56(sin x)^3 + 112(sin x)^5 - 64(sin x)^7
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N.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 19:46:   Beitrag drucken

Hallo Pascal,

das ist nun wirklich einfach:

sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny,...(I)
sin(3x)=3sinx-4(sinx)^3....(II)
sin(4x)=4sinx*cosx-8(sinx)^3*cosx
cos(3x)=4(cosx)^3-3cosx
cos(4X)=8(cosx)^4-8(cosx)^2+1

sin(7x)=sin(3x+4x)=sin(3x)*cos(4x)+cos(3x)*sin(4x)
=(3sinx-4(sinx)^3)*(8(cosx)^4-8(cosx)^2+1
)+(4(cosx)^3-3cosx)*(4sinx*cosx-8(sinx)^3*cosx)
=(3sinx-4(sinx)^3)*(8*(1-(sinx)^2)^2-8*(1-(sinx)^2)+1)+(16*(1-(sinx)^2)^2*sinx-32*(1-(sinx)^2)^2*(sinx)^3-12*(1-(sinx)^2)*sinx+24*(1-(sinx)^2)*(sinx)^3)
=(3sinx-4(sinx)^3)*(8-16(sinx)^2+8(sinx)^4-8+8(sinx)^2+1)+(16sinx-32(sinx)^3+16(sinx)^5-32*(sinx)^3+64*(sinx)^5-32*(sinx)^7-12sinx+12(sinx)^3+24(sinx)^3-24*(sinx)^5)
=(3sinx-4(sinx)^3)*(8(sinx)^4-8(sinx)^2+1)+(4sinx-28(sinx)^3+56*(sinx)^5-32*(sinx)^7)
=24(sinx)^5-24(sinx)^3+3sinx-32(sinx)^7+32(sinx)^5-4(sinx)^3+4sinx-28(sinx)^3+56*(sinx)^5-32*(sinx)^7
=7sinx-56(sinx)^3+112*(sinx)^5-64*(sinx)^7

Gruß N.
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N.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 21:11:   Beitrag drucken

Hallo pascal,

kleine Frage:

Woher stammt diese Aufgabe?

Gruß N.
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Pascal Rolli (Prolli)
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 15:03:   Beitrag drucken

Hallo N., Danke für die Herleitung, ich habe eine andere, etwas einfachere gefunden unter:

http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/smith2.12.98.html

Die Formel habe ich beim herumspielen mit Mathematica 'entdeckt'.

Pascal
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Gruß N.
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 16:11:   Beitrag drucken

Hallo Pascal,

ich wuste ja nicht, das ich Kentnisse über komplexe Zahlen vorraussetzen kann....

sonst hätte ich auch die andere Methode genommen!

Gruß N.

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