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Beitrag |
    
JoergB
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Februar, 2000 - 00:15: | 
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Hi ich brauche dringend Hilfe bei folgender
Aufgabe.(Komplettlösung)
Für welchen reellen Werte y hat das Gleichungssystem:
2*x1 + (y+2)*x2 + y*x3 = 0
(16-y)*x1 + 8*x2 + 10*x3 = 0
20*x1 + y*x2 + (y+14)*x3 = 0
noch andere Lösungen als die Lösung x1=x2=x3=0 ?
Wie lautet diese für den größten
Lösungs-Wert y = 11 ?
Wäre nett wenn Ihr mir helfen könnt. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Februar, 2000 - 19:00: |
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Berechne die Determinante der Koeffizientenmatrix; das ist die Matrix mit den Zeilen (2,y+2,y), (16-y,8,10), (20,y,y+14). Das Gl.system ist ganau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante D(y) ungleich Null ist. Bestimme also alle Nullstellen von D(y). y=11 sollte jetzt eine Nullstelle sein (habe ich nicht nachgeprüft). Nun kannst du in das ursprüngliche Gl.system y=11 einsetzen und es ganz normal lösen! War das jetzt zuviel bei dir vorausgesetzt? Dann meld dich nochmal. |
Jörg Baumann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Februar, 2000 - 21:37: |
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Hi Zaph !!!
Ist ja ganz nett die Idee mit der Determinante
nur versteh ich das nicht.
Also ich hab mal wieder rumprobiert und habe
11 für y eingesetzt.
Nach MC-Gauß habe ich dann in der Diagonalform
folgendes stehen:
20 11 25 0
0 -21 -15 0
0 0 0 0
d.h. x3 ist frei variabel, sagen wir mal t, toll und wie gehts weiter ? ist x2 dann 15t/-21 ?
außerdem würde ich gerne noch die anderen Lösungen
außer x1=x2=x3=0 wissen vorausgesetzt es gibt welche. oder kann man das System mit dem Gauß alleine gar nicht Lösen.von Determinanten habe ich gar keine Ahnung.
Danke schon mal für den ersten Rettungsversuch. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Februar, 2000 - 00:35: |
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Das habe ich befürchtet, dass du keine Determinanten kennst. Man kann die Aufgabe sicherlich mit dem Gauß-Verfahren durchrechnen. Habe ich aber irgendwann aufgegeben, da zu scheußlich! Dauernd verrechnet! Vielleicht versucht sich ja jemand anderes... Ingo, Fern?? ;-)
Die einzige andere Lösung der Aufgabe lautet jedenfalls y=1.
Weiterer Rettungsversuch: Ist dir von einer der folgenden Sachen was ein Begriff?
- Spatprodukt
- Volumen eines Spates
- Vektorprodukt und Skalarprodukt
Zu der zweiten Frage, wie die Lösungen für y=11 zu bestimmen sind (ich gehe jetzt mal davon aus, dass deine Gauß-Umformung korrekt ist, was ich nicht nachgerechnet habe):
Ja klar, x2 = 15t/(-21) = -5t/7. Und dann x1 = (-25t - 11(-5t/7))/20 = -6t/7. Also (x1,x2,x3) = (t,-5t/7,-6t/7), bzw. mit 7s=t:
(x1,x2,x3) = (7s,-5s,-6s). |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Februar, 2000 - 00:57: |
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Muss natürlich heißen:
(x1,x2,x3) = (-6t/7,-5t/7,t), bzw. mit 7s=t: (x1,x2,x3) = (-6s,-5s,7s). |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Februar, 2000 - 20:40: |
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Hallo Jörg und Zaph,
auch ich hab ne ganze Weile überlegt und bin dann endlich auf eine fast schon als billig zu bezeichnende Lösung gekommen : Das Zauberwort heißt in diesem Fall "Rangkriterium".
Ein Gleichungssystem ist nämlich nicht eindeutig lösbar,wenn die Koeffizientenmatrix keinen vollen Rang hat. Und den Rang einer Matrix kann man durch Spalten- und Zeilenumformungen (also Gauß) bestimmen.
Hier nun die Einzelschritte :
(1) Ziehe die erste Zeile von der letzten ab
| 2 | y+2 | y | | | | 2 | y+2 | y | | 16-y | 8 | 10 | | -> | | 16-y | 8 | 10 | | 20 | y | y+14 | | | | 18 | -2 | 14 |
(2) Teile die letzte Zeile durch 2.Addiere dann ihr y+2-Faches zu der 1.Zeile und ihr 8 faches zur zweiten Zeile.
(3) Addiere das 9-fache der 2.Spalte zur 1. und das 7 fache zur dritten.
(4) Durch Zeilen- und Spaltenvertauschung läßt sich die -1 nach links-oben transformieren(Beachte : Es geht nur um den Rang der Matrix!)
(5) Ziehe das (4y+7)/33-Fache der letzten Zeile von der vorletzten ab.
| -1 | 0 | 0 | | 0 | 4/33 y2-48/33 y+4/3 | 0 | | 0 | 88-y | 66 |
Der Rang dieser Matrix hängt nur von dem Element in der Mitte ab.Ist dieses 0,so ist das System nicht eindeutig lösbar.
Die Bedingung lautet also
4/33 y2-48/33 y + 4/3=0
=> 4y2-48y+44=0
=> y2-12y+11=(y-11)(y-1)=0
Das System hat also nur für y=1 und y=11 mehrere Lösungen. |
Valesca
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2000 - 15:24: |
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Hallo! Ich habe ein riesiges Problem. Ich brauche für meine Mathearbeit morgen dringend die Lösung für folgende Aufgabe, aber ich komme einfach nicht drauf. Also: Überprüfen Sie rechnerisch und zeichnerisch, ob es sich bei dem Dreieck A(-0.5/-3) B(4/1,5) C(1,5/4)um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Vielen Dank im Voraus.
Valesca |
Stefan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2000 - 17:21: |
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Hi Valesca!
Zeichne Dir die Punkte A,B und C ein und auch die Verbindungen a,b und c (nach der Dreiecks-Konvention!)
Zeichne Dir zu jeder der Seitenlängen auch das Steigungsdreieck ein, dann ist einfach zu sehen, daß Du die Länge jeder Seite mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen kannst. Für die Seite b (zwischen A und C) gilt z.B.
b² = 7² + 2² = 53, denn die Differenz der x-Koordinaten von A und C ist 7, die Differenz der y-Koordinaten von A und C ist 2.
So verfährst Du auch für die Seiten a und c und anschließend überprüfst Du wieder mit dem Pythagoras, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Es muß dann gelten:
Die beiden kürzeren Seiten quadriert und addiert müssen das Quadrat der längsten Seite ergeben!
(Das Ergebnis vorweg: a²+c²=b² , daraus folgt: Das Dreieck hat einen rechten Winkel bei B !)
Gruß Stefan |
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