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Beitrag |
    
Matthias (Schoenling)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 11:27: | 
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Könnte bitte jemand die Aufgaben für mich lösen?
Danke schon mal!
Vorraussetzung ist:
1) 1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n*(n+1)=2n+1/n+1
2) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=1/3n*(n+1)*(n+2) |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 13:37: |
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NIARBNIARBNIARBNIARBNIARBBRAINNIARBNIARBNIARBNIARB |
Schoenling (Schoenling)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 14:34: |
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Hab schon ne neue Aufgabe für euch.
An der ich fast verzweifele.
Also:
1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n-1=2-1/2^n-1 |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 21:03: |
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Hi,
ich schreibe die zu beweisenden Behauptung mit der Summenformel:
Sn i=1 1/2i-1 = 2 - 1/2n-1 soll für alle n gelten.
Dann mache ich den Induktionsanfang, für n=1:
Es ist S1 i=1 1/2i-1 = 1/20 = 1/1 = 1
Und 2 - 1/20 = 1
Die Ergebnisse sind gleich. Die Behauptung stimmt für n=1.
Nun der Induktionsschluß.
Ich setze die Gültigkeit der Behauptung für n voraus und betrachte die Behauptung für n+1:
Sn+1 i=1 1/2i-1
= Sn i=1 1/2i-1 + 1/2n
= 2 - 1/2n-1 + 1/2n
Nun ist
1/2n - 1/2n-1 =
1/2n - 2/(2*2n-1) =
1/2n - 2/2n =
= - 1/2n
=>
Sn+1 i=1 1/2i-1
= 2 - 1/2n
Aus der Richtigkeit der Behauptung für n folgt die Richtigkeit der Behauptung für n+1.
Damit ist die Behauptung durch Induktion bewiesen.
Gruß
Matroid |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 21:03: |
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Annahme:
Sn-1 i=01/2i=2-1/2n-1
Sn i=01/2i=
Sn-1 i=01/2i+1/2n=
2-1/2n-1+1/2n=
2-1/2n-1*(1-1/2)=
2-1/2n-1*1/2=
2-1/2n
Das ist der selbe Term, wie in der Annahme, nur mit n statt n-1
Induktionsanfang:
S0 i=01/2i=1/20=1=2-1=2-1/20
q.e.d. |
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