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LISA
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 16:30: | 
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Gibt es eine ganzrationale Funktion 4 Grades ,deren Graph durch A(3/27) geht,den Tiefpunkt T(0/0) und den Hochpunkt H(2/16 )???? |
Tommäs
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. August, 2001 - 18:25: |
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Nimm die Bedingung T(0|0) zuerst, dann vereinfachen sich die Gleichungen schonmal, weil zwei Variablen gleich Null werden:
f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f(0)=0 => e=0
f'(0)=0 => d=0
Also lautet der allgemeine Funktionsterm:
ax^4 + bx³ + cx²
=> f'(x) =4ax³ + 3bx² + 2cx
A:
f(3)=27 => a*3^4 + b*3³ + c*3² = 27
H:
f(2)=16 => a*2^4 + b*2³ + c*2² = 16
f'(2)=0 => 4a*8 + 3b*4 + 2c*2 = 0
Also Gleichungssystem mit 3 Unbekannten:
a*3^4 + b*3³ + c*3² = 27
a*2^4 + b*2³ + c*2² = 16
4a*8 + 3b*4 + 2c*2 = 0
81a + 27b + 9c = 27
16a + 8b + 4c = 16
32a + 12b + 4c = 0
Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen
a=3, b=-16, c=24
Wenn du nicht weißt, wie du es lösen sollst, gib die Frage danach einfach nochmal separat auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/14599.html oder auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/4465.html
ein.
Die Funktion, die sich aus den berechneten a, b und c ergibt, ist
f(x) = 3x^4 -16x^3 + 24x^2
Sie hat aber keinen Hochpunkt bei (2|16) (sondern einen Sattelpunkt), also gibt es keine Funktion, mit den geforderten Bedingungen. |
LISA
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. August, 2001 - 15:15: |
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Ich hab es mal allein versucht zu lösen ,bekomme aber andere Ergebnisse für a,b und c heraus !Egal ,wie ich es drehe ich komme einfach nicht auf die Ergebnisse die du rausbekommen hast !Kannst du mir da noch mal helfen ?
Und wie kommst du darauf das es ein Sattelpunkt ist ?Wie bist du rechnerisch darauf gekommeN ? |
Tommäs
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. August, 2001 - 19:10: |
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Wenn ich da mal nicht einen Fehler gemacht habe...
Kannst du denn nachvollziehen, wie ich auf die drei Bestimmungsgleichungen
A:
f(3)=27 => a*3^4 + b*3³ + c*3² = 27
H:
f(2)=16 => a*2^4 + b*2³ + c*2² = 16
f'(2)=0 => 4a*8 + 3b*4 + 2c*2 = 0
gekommen bin?
Den Sattelpunkt habe ich dann so ausgerechnet:
meine Lösung für f(x),
f(x) = 3x^4 -16x^3 + 24x^2, habe ich zweimal abgeleitet:
f'(x) = 12x³ -48x² + 48x
f"(x) = 36x² - 96x + 48
und dann habe ich überprüft, ob die Beschreibung
"deren Graph durch A(3/27) geht, den Tiefpunkt T(0/0) und den Hochpunkt H(2/16 )" auf diese Funktion zutrifft:
f(3)=3*81-16*27+24*9=27, also liegt Punkt A auf dem Graphen
f(0)=0 sieht man sofort, f(2)=16 stimmt auch, also liegen T und H auf dem Graphen.
f'(x)=0 setzen:
12x³ -48x² + 48x = 0
<=> x*(x²-4x+4)=0
<=> x=0 V (x-2)²=0
<=> x=0 V x=2
in zweite Ableitung einsetzen:
f"(0)=48 > 0 => Tiefpunkt bei (0|0), stimmt.
f"(2)=36*2² - 96*2 + 48 = 0, da dies nicht <0 ist, liegt hier kein Hochpunkt vor. Denn wenn f'(a)=0 und f"(a)=0 ist, f'''(x) ungleich Null ist, liegt bei a ein Sattelpunkt vor. |
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