| Autor |
Beitrag |
    
Freddyline (Freddyline)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 15:19: | 
|
Hi,
wir sollen jetzt für die Schule folgende explizite Beschreibungen in rekursive Beschreibungen umwandeln. Könnte mir einer vielleicht folgende Aufgaben lösen und dabei erklären, wie er darauf gekommen ist ? Und wir sollen herrausfinden wie die explizite Beschreibung bei geometrischen Reihen ist. Vielen Dank !!
1. (-1)n*n
2. ((-1)n) / n
3. 1+ 1/n
4. (2n-1) / n |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 19:10: |
|
1. -1 2 -3 4 -5 6 .......
a(1)=-1
a(n+1)=-a(n)/|a(n)|*(|a(n)|+1)
tja wie bin ich drauf gekommen? das kann ich gar nicht richtig erklären, einfach ausprobieren, bei alternierenden reihen, braucht man auf jeden fall minus und den betrag
man muss sich einfach im klaren sein, wie das folgende glied mit dem vorherigen zusammenhängt so daß es für alle gilt
geometrische reihen haben die form: a(n)=S¥ i=1xn |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 12:50: |
|
Es gibt aber auch die schöne Darstellung, die ohne Betragstriche auskommt und kürzer ist:
an+1 = -[an + (-1)an] |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 12:55: |
|
Mein Ansatz:
Das Glied ändert jedes Mal sein Vorzeichen, also muss irgendwo ein "-an" stehen. Absolut gesehen wird es aber um 1 größer, also brauche ich eine alternierende Einserfolge. Und womit erzeugt man eine solche? Mit "(-1)an". Dann habe ich das ganze zusammengepackt und hatte da stehen:
an+1 = -an - (-1)an, was man zusammenfassen kann zu:
an+1 = -[an + (-1)an) |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 13:23: |
|
2.
Hier haben wir es mit einer alternierenden Folge von Stammbrüchen zu tun, also:
1/1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; ...
Wir müssen auch hier das wechselnde Vorzeichen hineinbekommen. Versuchen wir es auch hier mit "(-1)an", dann merken wir, dass es bei jedem zweiten Glied nicht geht, denn wir erhalten z.B. beim zweiten Glied "(-1)1/2", was ja hieße, die Wurzel aus -1 zu ziehen. Is ja nicht machbar in R.
Also nehmen wir (da es ja alles Stammbrüche sind) die Kehrwerte und erhalten jedes Mal garantiert ganze Zahlen: "(-1)1/an".
Wir müssen auch wissen, bei welchem Glied wir eigentlich sind, also müssten wir eigentlich 1/an rechnen dazu + oder - 1 addieren und wieder den Kehrwert bilden. Das alles lässt sich so zusammenfassen:
an+1 = -1 / [1/an + (-1)1/an] |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 13:49: |
|
3.
Ganz simpel:
Wir lösen die explizite Beschreibung nach n auf:
an = 1 + 1/n
1/n = an - 1
n = 1/(an - 1)
und setzen diesen Term für n in diese Gleichung ein:
an+1 = 1 + 1/(n+1), die sich ja durch Erhöhung des n-Wertes um 1 ergibt:
an+1 = 1 + 1/[1/(an - 1) + 1]
= 1 + 1/[(an - 1 + 1)/(an - 1)]
= 1 + 1/[an/(an - 1)]
= 1 + (an - 1)/an
= 1 + 1 - 1/an
= 2 - 1/an
mit a1 = 2
Ach ja:
a1 bei Aufgabe 2 war -1! |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 13:56: |
|
4.
Mindestens genauso simpel:
Wir lösen wieder nach n auf:
an = (2n - 1)/n = 2 - 1/n
an - 2 = -1/n
1/n = 2 - an
n = 1/(2 - an)
Wir bilden wieder an+1:
an+1 = 2 - 1/(n+1)
und setzen den oben errechneten Term für n ein:
an+1 = 2 - 1/[1/(2 - an) + 1]
= 2 - 1/[(1 + 2 - an)/(2 - an)]
= 2 - 1/[(3 - an)/(2 - an)]
= 2 - (2 - an)/(3 - an)
mit a1 = 1 |
|
