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Koops
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 22:09: | 
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Hi,
gerade bin ich frisch in die 11 gekommen, schon bekomme ich es mit Themen in Mathe zu tun, die für mich absolutes Neuland sind und für mich schwer zu verstehen sind. Zunächst bräuchte ich eine einleuchtende Definition für den Unterschied zwischen einer Schranke und einem Grenzwert. So wie ich das verstanden habe, darf Folge niemals den Wert der SChranke annhemen wobei es bei dem Grenzwert sein darf. war das der einzige Unterschied? Dann zur Konvergenz, wann ist eine Zahlenfolge konvergent? Was ist mit der beliebig kleinen Zahl gemeint? Ist das der Abstand zum Grenzwert oder der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Teilen einer Folge? Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt! |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 11:01: |
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Schranken und Grenzwerte sind zwei verschiedene Begriffe,die nicht viel miteinander zu tun haben,außer daß eine Folge beschränkt sein muß,um überhaupt einen Grenzwert haben zu können.
Eine Schranke ist einfach nur ein Wert,den die Folge nicht überschreitet (obere Schranke) oder unterschreitet (untere Schranke). JEDER Wert,der diese Bedingung erfüllt ist eine Schranke.
Ein Grenzwert hingegen ist - sehr einfach gesprochen - der Wert,den die Folge im unendlichen annimmt.
Beispiele :
| Folge | Grenzwert | obere Schranken | untere Schranken | | an=1/n | 0 | 1 ; 2 ; 3 | 0 ; -1 ; -2 | | an=(n+1)/n | 1 | 2; 3 ; 4 | 1 ; 0 ; -1 | | an=sin(n) | ex.nicht | 1 ; 2 ; 3 | -1 ; -2 ; -3 | | an=3-(1/n²) | 3 | 4; 3.8 ; 3.5 | 2 ; 0 ; -8 |
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Koops (Koops)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 20:03: |
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Vielen Dank, damit wäre mir schon mal sehr geholfen.
Aber wie ist das jetzt mit der Konvergenz?
Wann ist eine Folge konvergent und wann nicht?
Was hat E für eine Aufgabe dabei? |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 09:56: |
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gut,weiter im Text :
Konvergenz
Eine Folge heißt konvergent,wenn sich die Folgeglieder einem bestimmten Wert annähern. Dieser Wert ist der Grenzwert. Im Falle der Konvergenz ist er eindeutig,im Falle der Divergenz ist er es nicht,oder es gibt garkeinen.
Beispiel für divergente Folgen mit mehreren Grenzwerten sind (-1)n (Mit Grenzwerten 1 und -1) oder sin(np/2) (mit Grenzwerten 0/1/-1).
Das e was Du erwähnst steht dabei für eine beliebig kleine Zahl wie 1/10 1/100 oder auch 0,000003258... Es ist einfach nur ein Platzhalter,wie zum Beispiel auch das x in der Darstellung f(x) einer Funktion. Man kann beliebige Zahlen einsetzen,es muß immer gelten.
Nehmen wir mal die Folge an=1/n von oben. Sie konvergiert gegen 0. Aber wie beweist man das ? Ganz einfach : Wenn sie gegen 0 konvergiert, müßen die Folgeglieder beliebig wenig von der 0 abweichen ab einem bestimmten N. Mathematisch formuliert man das so :
|an-0|<e für beliebig kleine e
In unserem Fall |(1/n)-0|<e bzw. |1/n|<e oder auch (1/n)<e
Das gilt aber für alle n>(1/e) und damit sind wir fertig.
Wählen wir zum Beispiel e=0,1 dann ist N=10. Für e=1/1000 ist N=1000 usw. |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 09:58: |
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Nachtrag : Die bei der Divergenz erwähnten Grenzwerte nennt man Häufungspunkte. Der Begriff Grenzwert existiert nur bei konvergenten Folgen. |
Cobra
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 15:11: |
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Hallo,
Kann man die Begriffe Schranke und Grenzwert nicht wenigstens für monotone Folgen doch noch zusammenführen, indem man sagt:
Die kleinste obere Schranke, die eine monoton wachsende Folge besitzen kann, ist gleich dem Grenzwert? (analog für größte untere Schranke bei monoton fallender Folge)
Oder wäre das falsch? |
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